第四章线性系统的能控性与能观测性

中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性现代控制理论ModernControlTheory中南大学信息科学与工程学院自动化专业2019年12月18日中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性第四章线性系统的能控性与能观测性4.1定常离散系统的能控性4.2定常连续系统的能控性4.3定常系统的能观测性*4.4线性时变系统的能控性及能观测性4.5能控性及能观测性的对偶关系4.6线性定常系统的结构分解4.7能控性、能观测性与传递函数矩阵的关系4.8能控标准形和能观测标准形4.9系统的实现小结中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性1960卡尔曼(Kalman)提出两个基础性概念：能控性与能观测性两个基本问题：①在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转移到要求的状态？指控制作用对状态变量的支配能力，称之为状态的能控性问题。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性②在有限时间内，能否通过对系统输出的测定来估计系统的初始状态？系统的输出量(或观测量)能否反映状态变量，称之为状态的能观测性问题。例4.0.1中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性RC桥形电路,R1=R2,C1=C2。选各自的电压作为状态变量，且设电容上的初始电压为0，根据电路理论，则两个状态分量恒相等，即x1(t)=x2(t)。相平面图(b)中相轨迹为一条直线，因此系统状态只能在相平面的一条直线上移动，不论电源电压如何变动，都不能使系统的状态变量离开这条直线，显然，它是不完全能控的。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性1122211121xxuxx设状态方程为333312ttttAttttteeeeeeeee状态方程的解中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性ttAtttAAtduexedBuexetx0)(0)()(11)0()()0()(1)x1(0)=x2(0)位于直线x1=x2上11)0()0()0(21xxx)()()()()(210)(0)(txtxdueedueetxtttttt中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性2)x1(0)=-x2(0)位于直线x1=-x2上11)0()0()0(21xxx)()()()()(210)(30)(3txtxdueedueetxtttttt中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性我们能找到u(t),使得在有限的时间内x(t)=0。结论：系统状态完全可控。分析:1)对x1(0)=x2(0))()()()()(210)(0)(txtxdueedueetxtttttt中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性我们无法找到u(t),使得在有限的时间内x(t)=0。结论：系统状态完全不可控。2)对x1(0)=-x2(0))()()()()(210)(30)(3txtxdueedueetxtttttt中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性)()()()(2121txtxxxtxtxxxCCCxCx1x2x0x1=x2x1=-x2直线x1=x2为状态空间的能控子空间，记作Cx直线x1=-x2为状态空间的不能控子空间，记作Cx中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性例4.0.2选择电感中的电流iL以及电容上的电压uC作为状态变量。当电桥平衡时，iL作为电路的一个状态是不能由输出变量uC来确定的，所以该电路是不能观测的。返回中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性另取一例RR1xu=0+y2xRLLR=1L=1中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性状态方程ttttttttAteeeeeeeeeuxxxx3333212121012112自由运动的解)]0()0([)0()()()0()(213xxexCetCxtyxetxtAtAt中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性1)x1(0)=x2(0)位于直线x1=x2上0)(11)0()0()0(21tyxxx因此不能由y(t)确定x(0)，只能得到x1(0)=x2(0)。直线x1=x2为状态空间的不能观测子空间，记作Ox中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性2)x1(0)=-x2(0)位于直线x1=-x2上)0(2)(11)0()0()0(1321xetyxxxt因此如果已知y(t)，即可确定x(0)。直线x1=-x2为状态空间的能观测子空间，记作Ox中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性3)其他情况若已知y(t),仅能得到x1(0)－x2(0)。)()()()(2121txtxxxtxtxxxOOOxOx1x2x0x1=x2x1=-x2返回中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性4.1定常离散系统的能控性返回4.1.1定常离散系统的能控性定义4.1.2单输入离散系统能控性的判定条件*4.1.3多输入离散系统能控性的判定条件中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性4.1.1定常离散系统的能控性定义返回线性定常离散系统的状态方程(1)()()xkAxkBuk(4.1.1)定义4.1.1对于系统(4.1.1)，如果存在控制向量序列u(k),u(k+1),…,u(N-1)，使系统从第k步的状态向量开始，在第N步到达零状态，即x(N)=0，其中N是大于k的有限数，那么就称此系统在第k步上是能控的。如果对每一个k，系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的，简称能控。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性4.1.2单输入离散系统能控性的判定条件单输入线性定常离散系统的状态方程(1)()()xkAxkbuk(4.1.2)定理4.1.1P108单输入线性定常离散系统完全能控的充分必要条件是，矩阵[b,Ab,…,An-1b]的秩为n。该矩阵称为系统的能控性矩阵，以Uc表示，于是此能控性判据可以写成1nCrankUrankbAbAbn中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性例4.1.1线性定常离散系统的状态方程为满足能控性的充分必要条件，故该系统能控。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性说明：此系统在第3步上的状态转移方程为323(3)(0)(0)(1)(2)100111022(0)2(0)2(1)0(2)110311xAxAbuAbubuxuuu设x(3)=0，则有3111(0)100220(1)022(0)310(2)110uuxu中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性1112203310rank当2(0)10x(0)5(1)11(2)8uuu表明：此系统无论x(0)为何值，都能选择适当的u(0),u(1),u(2)使系统转移到零状态，所以系统是能控的。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性注意：n阶定常离散系统若在第n步上不能转移到零状态，则永远不能转移到零状态。证明略。返回中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性*4.1.3多输入离散系统能控性的判定条件定理4.1.2多输入线性定常离散系统(1)()()xkAxkBuk完全能控的充要条件是，矩阵[BAB…An-1B]的秩为n。该矩阵称为系统的能控性矩阵，以Uc表示，于是此能控性判据可以写成1nCrankUrankBABABn中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性多输入与单输入系统的能控性判据形式上完全相同。但多输入系统有以下特点：(1)多输入系统的能控性矩阵是一个n*np矩阵。根据判据，只要求它的秩等于n，所以在计算时不一定需要将能控性矩阵算完，算到哪一步发现充要条件已满足就可以停下来，不必再计算下去。(2)为了把系统的某一初始状态转移到零状态，存在着许许多多的方式，因此我们可以在其中选择最优的控制方式。例如选择控制向量的范数最小。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性例4.1.2解：只要计算出能控性矩阵的秩即可返回结论：系统能控。21011350012113010012rankBABABrank中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性4.2定常连续系统的能控性返回4.2.1线性定常连续系统的能控性定义4.2.2线性定常连续系统的能控性判据4.2.3线性定常连续系统的输出能控性*4.2.4利用Matlab判定系统能控性中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性4.2.1线性定常连续系统的能控性定义返回定义线性定常连续系统的状态方程xAxBu(4.2.1)定义4.2.1对于系统(4.2.1)，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从(非零有限)初始状态x(t0)转移到任意终端状态(状态空间原点)x(t1)，那么就称此状态是能控的。若系统任意t0时刻的所有状态x(t0)都是能控的，就称此系统是状态完全能控的，简称能控。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性说明1)能控状态x(t0)≠0,x(t1)=0(能控性)能达状态x(t0)=0,x(tf)≠0(能达性)对线性定常连续系统，能控性与能达性是等价的。2)对线性定常系统，能控性与初始时刻t0的选取无关。3)定义中对控制u(t)的每个分量的幅值未加限制，但必须是容许控制。这里只关注其存在性，而不去确定其值。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第四章线性系统的能控性与能观测性特性1.2.3.若则4.xttxc],[10xttxcdim],[