西安交大复变函数试题及答案

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西安交通大学考试题课程复变函数(A)系别考试日期2007年7月5日专业班号姓名学号期中期末一.填空(每题3分,共30分)1.i3=2.0z=0是函数51cos)(zzzf的(说出类型,如果是极点,则要说明阶数)3.iyxyyixxzf322333)(,则()fz=4.]0,sin1[Rezzs5.函数sinwz在4z处的转动角为6.幂级数0)(cosnnzin的收敛半径为R=____________7.dzzz10sin8.设C为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线,则dzzeCz219.函数14zzzf在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________10.23||22)4)(1(zzzdz成绩二.判断题(每题3分,共30分)1.nzzzf)(在0z解析。【】2.)(zf在0z点可微,则)(zf在0z解析。【】3.zezf)(是周期函数。【】4.每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【】5.设级数0nnc收敛,而||0nnc发散,则0nnnzc的收敛半径为1。【】6.1tan()z能在圆环域)0(||0RRz展开成洛朗级数。【】7.n为大于1的正整数,LnLnnznz成立。【】8.如果函数)(zf在0z解析,那末映射)(zf在0z具有保角性。【】9.如果u是D内的调和函数,则yuixuf是D内的解析函数。【】10.212233||||221112|2(1)1zzzzdzdziizzzz。【】三.(8分)yevpxsin为调和函数,求p的值,并求出解析函数ivuzf)(。四.(8分)求)2)(1(zzzzf在圆环域21z和21z内的洛朗展开式。五.(8分)计算积分dxxxx54cos22。六.(8分)设Cdzzf173)(2,其中C为圆周3||z的正向,求(1)fi。七.(8分)求将带形区域})Im(0|{azz映射成单位圆的共形映射。复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准(2007.7.5)一.填空(各3分)1.3ln2ike;2.三级极点;3.23z;4.0;5.0;6.e1;7.322)1(26ss;8.0;9.0;10.)]2()2()2(1)2(1[21jj。二.判断1.错;2.错;3.正确;4.错;5.正确;6.错;7.错;8.错;9.正确;10.错。三(8分)解:1)在2||1z11000111111()()(()())()21222nnnnnnnnzzfzzzzzzzz-----4分2)在1|2|z20111111()(1)(1)(1)122122(2)(2)(1)2nnnfzzzzzzzz--4分四.(8分)解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点-2+i,故]2,54[Re25422izzesidxxxeizix--------3分)2sin2(cos54))2((lim222iezzeiziiziz--------6分故2cos254Re254cos222edxxxedxxxxix---------8分五.(8分)解:22371()()Cfzdz-------3分由于1+i在3||z所围的圆域内,故iCidiif1222|)173(2))1((173)1()136(2i-------8分六.(8分)解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到zazaieeezf)((映射不唯一,写出任何一个都算对)七.(8分)解:对方程两端做拉氏变换:13)(3))0()(()0()0()(`2ssYyssYysysYs代入初始条件,得32113)(2ssssY--------4分)1)(3(1)1)(3)(1(3sssss381185143sss故,ttteeety3818543)(---------8分(用留数做也可以)复变函数(A)的参考答案与评分标准(2007.7.5)一.填空(各3分)1.3ln2ike;2.三级极点;3.23z;4.0;5.0;6.e1;7.1cos1sin;8.0;9.0;10.0。二.判断1.错;2.错;3.正确;4.错;5.正确;6.错;7.错;8.错;9.正确;10.错。三.(8分)解:因为yevpxsin是调和函数,则有02222yvxv,即0sin)1(sinsin22yepyeyeppxpxpx故1p---------2分1)当1p时,yevxsin,由C-R方程,yeyvxuxcos,则)(cos),(ygyeyxux,又由yexvygyeyuxxsin)(sin,故0)(yg,所以cyg)(。则cezfz)(----------3分2)当1p时,yevxsin,由C-R方程,yeyvxuxcos,则)(cos),(ygyeyxux,又由yexvygyeyuxxsin)(sin,故0)(yg,所以cyg)(。则cezfz)(四(8分)解:1)在2||1z11000111111()()(()())()21222nnnnnnnnzzfzzzzzzzz-----4分2)在1|2|z20)2(1)1(21))211)(2(11(21)1211(21)(nnnzzzzzzzzf-------4分五.(8分)解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点-2+i,故]2,54[Re25422izzesidxxxeizix--------3分)2sin2(cos54))2((lim222iezzeiziiziz--------6分故2cos254Re254cos222edxxxedxxxxix---------8分六.(8分)解:22371()()Cfzdz-------3分由于1+i在3||z所围的圆域内,故iCidiif1222|)173(2))1((173)1()136(2i-------8分七.(8分)解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到zazaieeezf)((映射不唯一,写出任何一个都算对)

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