西安交通大学02-03年高等数学下册期末考试试题及答案

1(2003.6.9)一、解答下列各题(每小题5分，共25分)1．设zyeuxcossin，求全微分du.2．求曲线tx2sin，ttycossin，tz2cos在对应于4t的点处的切线和法平面方程.3．计算曲线积分Lxxdydxey2)3(，式中L是曲线xey上从)1,0(到),1(e的一段.4．求函数206922yxyxyxz的极值.5．求微分方程xxeyy33的一个特解.二、解答下列各题(每小题6分，共24分)1．在x轴上求一点，使它到点)2,1,0(M的距离等于它到平面9236zyx的距离.2．函数),(yxzz由方程0)ln(22xyzxyzxz所确定，求yzxz,.3．改变二次积分xxdyyxfdxdyyxfdx2021010),(),(的积分次序，其中),(yxf连续.4．计算曲面积分dxdyzyxdzdxzyxdydzxzy)()()(,其中是由1||,1||,1||zyx所确定的立体的表面外侧.三、（9分）计算三重积分dVzI2，其中由zzyx2222所确定.四、（9分）求半径为R的质量分布均匀的半球面的重心坐标.五、（9分）求微分方程034yyy的积分曲线方程，使其在点)2,0(与直线0922yx相切.六、（9分）设曲面方程为0),(byzaxzF（ba,为正常数）.),(vuF具有一阶连续的偏导数，且022vuFF，试证明此曲面上任一点处法线恒垂直于一常向量.七、（9分）求微分方程)ln1(lnxyyyx满足eyy)1(,2)1(的特解.八、（6分）设L是光滑的正向简单闭曲线，所围的区域记为D，n是L的单位外法线向量，),(yxu是具有二阶连续偏导数的二元函数，试证：DLdxdyyuxudsnu)(2222(2002.6.17)2一、解答下列各题(每小题6分，共60分)1．设点)2,6,3(p为从原点到一平面的垂足，求该平面的方程.2．求过点)3,2,1(M的平面，使它与平面03:zyx垂直，且与直线zyxL:平行.3．设2yxz，求dz.4．在曲面2223yxz上求一切平面，使该切平面垂直于直线123zyx.5．求曲线)ln(sin,,tztytx上，对应2t点处的切线方程.6．改变二次积分xxdyyxfdxdyyxfdx4042020),(),(的积分次序，其中),(yxf连续.7．计算zdVI，其中积分域是：zzyx2222.8．计算曲线积分Lyxydxxdy22，其中L是椭圆周212222xyx正向.9．计算曲面积分dSy||，其中为锥面22yxz被圆柱面xyx222截下的部分曲面.10.求微分方程211xyyx的通解.二、（7分）求函数206922yxyxyxz极值.三、（7分）函数),(yxzz由方程0),(zyzxF所确定，其中),(vuF具有连续的一阶偏导数，且0vuFF，求yzxz.四、（7分）设为上半球面221yxz的外侧，计算曲面积分。dxdyzdzdxxdydzy)1(333.五、（7分）计算曲线积分ABLxxdyxyeydxe)4cos(sin，其中ABL为以AB为直径的从)0,0(A到)0,2(aB)0(a上半圆周.六、（7分）求微分方程2xyy的通解.七、（5分）已知连续可微函数)(tF满足)0(0)0,0,0()(1)(2222222ttyxdxdyyxyxFxtFtyx试求函数)(tF.3参考答案（03.6.14）一、1.sincoscoscossinsinxxxdueyzdxeyzdyeyzdz。2.点111,,,222当4t时,(,,)(1,0,1)xyz。切线111222101xyz,法平面,xz=0。3.原式11002222xxxedxxedxxee。4.由290260xyzxyzyx得驻点(－4,1)。在(－4,1)处,2min30,20,(4,1)1ACBAz。5.230,3,()xiyAxBe，*333,,(21)488xAByxe二、1.设所求点为(,0,0)x,则2691449xx，解得2x或8213x；2.(21),(221)zzzzxyzxxyyxzxyz；3.原式120(,)yydyfxydx；4.由高斯公式得,原式8vdv。三、2220(2)Izzzdz85。四、设半球面方程为222:zRxy，22222DzdSRdxdyRzRR，重心为(0,0,)2R。五、2430,rr13,r21r,312xxyCeCe,且(0)2y,(0)1y,112C,252C，31(5)2xxyee六、令zaxu,zbyv,则,曲面法向量{,,}uvuvnaFbFFF取{,,}Abaab则0,nA从而nA。七、令,yp则yp代入原方程，(ln1ln)xpppx，即(ln1)pppxx,令,pux，得1lnlnduCxuu，由(1)ye，得11C。2(1),xyexC得(1)2y得22C八、,uuunnxy，,,uuuuudsdydxdxdynxyyxLLuuudsdxdynyx2222Duudxdyxy参考答案（02.6.17）一、1.3(3)6(6)(3)0xyz，42.1,1,1(1,1,1)(2,2,0)n，平面方程为(1)(2)0xx。3.22212lnyydzyxdxxyxdy。4.法向量为(6,4,1)nxy平面方向数为(3,2,1)ln，两者平行得115(,,)224P，所以得法平面方程为：1153()2()()0224xyz.5.切向量为11(1,1,0),(,,0)22P，切线方程为1122110xyz.6．241yydyfdx。7.用先二后一法得22200(2)zDIzdzdxdyzzzdz43。8.验证2222yxyxPQyx，L不包含原点，故0L。9.第一型面积分*||222DDydxdyydxdy2cos2200222sin3dd。10．齐次方程的通解为dydxcyyxx,用常数变易法求非齐方程的特解2()1()arctan(1)cxcxxcxxx,非齐方程的通解为arctanxcyxx。二、29,26xyzxyzxy令0,0xyzz，得(4,1)P，2002H正定，min(4,1)z三、设(,)zzxy，方程两边对x求导得11212(1)0xxxFFzzFzFF，方程两边对y求导得21212(1)0yyyFzFFzzFF,所以1xyzz.四、23luVDzdvdxdy12032zDzdzdxdy12203(1)2zzdz212255.五、40ABABLLAOOADd22a.六、齐次方程的特征方程：200,1，非齐方程的特解形式为：2*()yxaxbxc,1,1,23abc,非齐方程的通解为2121(2)3xyccexxx七、2200()()cos[1]tFrFtdrrdrr2200cos[()]tdrFrdr，即20()[()]tFtrFrdr对t求导得2FtF,101,2*yatbtc,1,2,2abc52()22tFtcett,又(0)202Fcc,所以2()222tFtett