西安交通大学2007年线性代数期末考试试题(含答案)

西安交通大学考试题课程线性代数与解析几何（A卷）系别考试日期2007年1月18日专业班号姓名学号期中期末√说明:)det(A指方阵A的行列式,*A指方阵A的伴随矩阵,)(Ar指矩阵A的秩,TA指矩阵A的转置矩阵,I为单位矩阵.22R指实数域R上的二阶实方阵全体按通常矩阵的运算构成的线性空间.2[]Fx表示次数不大于2的一元多项式全体所构成的线性空间。题号一二三四五六七八九得分一、填空题(每小题3分,共12分)(1).若矩阵201030503A,则det(2)TAA=.(2).若向量组123111,,111ααα的秩为2,则=.(3).设矩阵121201101Aaaa,已知齐次线性方程组0Ax的基础解系含有两个向量，则a=.(4).设矩阵10301131aA=为正定矩阵，则a的取值范围是.成绩共6页第1页二、单项选择题(每小题3分,共12分)(1).设两个非零矩阵,BA,满足0BA，则必有(A)A的列向量组线性相关.(B)A的列向量组线性无关.(C)B的列向量组线性相关.(D)B的列向量组线性无关.【】(2).曲线22220xyz绕x轴旋转一周所形成旋转面的名称是(A)单叶双曲面.(B)双叶双曲面.(C)椭圆面.(D)抛物面.【】(3).已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，则*AI必相似于对角矩阵(A)012;(B)125;(C)512;(D)125;【】(4).设矩阵111023004A，则1*12A＝(A)12A.(B)14A.(C)18A.(D)116A.【】三、(12分)设方阵B满足22I*ABB,其中111111111A，求矩阵B.共6页第2页四、(12分)已知直线11:232xyzL，直线2312:212xyzL.（1）记iL的方向向量为(1,2)iai，求过1L且与12aa平行的平面的方程.（2）求2L与的交点.并写出1L与2L的公垂线的方程.五、(12分)a、b取何值时,线性方程组12341202011231011114423xxxaxab有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出该方程组的结构式通解.共6页第3页六、(12分).设二次型222123123121223(,,)4()fxxxxxxxxxxxx,(1)写出二次型123(,,)fxxxTxAx的矩阵A;(2)求一个正交矩阵P,使APP1成对角矩阵;(3)写出f在正交变换Pyx下化成的标准形.共6页第4页七、(12分)设矩阵12314315aA=的全部特征值之积为24.(1)求a的值；(2)讨论A能否对角化，若能，求一个可逆矩阵P使1PAPD为对角阵。八、(10分)(注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题)(1)在22R中所有2阶实对称矩阵所组成的集合构成22R的一个子空间W.证明元素组122141,211315123A,AA是W的一个基.(2)设T是2[]Fx上的线性算子，T在2[]Fx的基（Ⅰ）：2,,1xx下的矩阵为123103215A,求T在2[]Fx的基（Ⅱ）：222,,1xxxxx下的矩阵共6页第5页九、(6分)设A为n阶方阵，0A且AI.证明:2AA的充分必要条件是()()rArAIn.课程线性代数与解析几何（A卷）答案（2007.1。18）一、(满12分)(1).72.(2).-2(3).1.(4).10a.二、(满12分)(1).(A)(2).(B)(3).(D);(4).(B)三、(满12分)解因||,(3)AI*AA，两端同乘A，||4A,化简得(2),(6)IABA1(2)IA1101011,(9)2101，1010(2)001,(12)100BIAA.四、(满12分)解（1）12(4,0,4)(1,0,1)aa.（2分），平面的法向量为(1,0,1)(2,3,2)(3,4,3)n，（4分），故平面方程为3(1)430xyz.（6分）（2）将2:23,1,22Lxtytzt代入得2t，交点(1,3,2).（10分）故1L与2L的公垂线的方程132101xyz.（12分）五、(满12分)解增广矩阵1202001211(,),(4)0020000021Abaab（1）当2a时，()()4rArA，方程组有唯一解，（6分）（2）当2a，且1b时，()2,()3rArA，方程组无解（8分）（3）当2a且1b时，,()()2rArA该方程组有无穷多解，其结构式通解为,12(2,1,0,0)(4,2,1,0)(4,1,0,1)TTTxcc.(12分)六、(满12分)解(1)422242224A=;（2分）(2)特征值为1236,0，（5分）当126时特征向量为1202111,12611ee，当30时，311131e，取123(,,)Peee为正交矩阵，可,使1PAP=diag(6,6,0);（11分），共2页第1页(3)221266fyy在正交变换Pyx下化成的标准形。（12分）七、(满12分)解(1)因123||A得2a；（3分）(2)特征值为1232,6，又当122时，(2)1rIA，即代数重数等于几何重数，故A能对角化，（8分），由其特征向量得可逆矩阵231101011P，使1(2,2,6)PAPDdiag为对角阵（12分）八、(满10分)(1)W为三维空间，故任意三个线性无关的元素均可作为其基，（5分）令1122330kAkAkA，得1230kkk故线性无关，是W的一个基.（10分）(2)由基（Ⅰ）到的基（Ⅱ）的过渡矩阵为111011001C，（5分），则T在2[]Fx的基（Ⅱ）：下的矩阵为244346238-1CAC。(10分)九、(满6分)必要性：由2()0()()AAAAIrArAIn，又()()()()()rArAIrArIArIn故()()rArAIn。（3分）充分性：设(),0,(),rArrnrAInr得方程组0Ax的基础解系含nr个向量，即得属于特征值零的线性无关的特征向量有nr个；又因方程组()0AIx的基础解系含r个向量，即得属于特征值1的线性无关的特征向量有r个，即代数重数等于几何重数，A有n个线性无关的特征向量，所以A可对角化。即存在可逆的P，使1000rnrIPAPD，2121111,APDPAPDPPDPPDPPDPA，（6分）共2页第2页共6页第6页