西安交通大学线性代数期末试题

西安交通大学考试题课程线性代数与解析几何（B卷）系别考试日期2006年1月8日专业班号姓名学号期中期末说明:)det(A指方阵A的行列式,*A指方阵A的伴随矩阵,)(Ar指矩阵A的秩,TA指矩阵A的转置矩阵,I为单位矩阵.题号一二三四五六七八九得分签字一、填空题(每小题3分,共15分)1.设矩阵2328A,则)det(TAA的值为100.2.设A、B均为可逆方阵,则1AOOB=11AOOB.3.若线性方程组123123312681xxaxxxx无解,则常数a4.4.已知向量11是矩阵533Ak的属于特征值2的特征向量,则常数k5。5.方程组1230xxx的基础解系是12(1,1,0),(1,0,1)TT.成绩共6页第1页二、单项选择题(每小题3分,共15分)1.设向量(1,3,5,4)T,,矩阵TA,则det()A等于()0a.()1b.()51c.()51d.【a】2.设A为3则阶方阵,0)det(A的充分必要条件是)(aA的列向量组线性无关.)(bA的行向量组线性相关.)(cA的秩为3.)(dA中有两行对应成比例.【b】3.设3阶方阵123A,其中i为3维行向量(3,2,1i),矩阵2131,2B12010100100,010001201PP,则必有BPAPa21)(.BPAPb12)(.BAPPc21)(.BAPPd12)(.【c】4.设向量组12345,,,,线性相关,而向量组2345,,,线性无关,则向量组12345,,,,的极大无关组是)(a123,,.)(b234,,.)(c.1234,,,)(d2345,,,.【d】5.n阶方阵A正定的充要条件是()a0||A.()bA的n个特征值均大于零.()cA有n个线性无关的特征向量.()dA为对称阵.【b】共6页第2页三、(12分)求过三个平面220,xyz310,xyz30xyz的交点，且平行于平面220xyz的平面方程。解过三个平面交点的面束为22xyz(31)xyz(3)0xyz，且平行于平面220xyz，知法向量平行，得14,1919。即240xyz为所求。四、(12分)当a、b为何值时,线性方程组1232)3(122043214324324321axxxxbxxaxxxxxxxx有唯一解、无解或有无穷多解？并在其有无穷多解时，求出结构式通解.解方程组的增广阵为11110101110122101221A013200101321100010ababaa＝　　　　－（1）1a时，原方程组有唯一的解。（2）1,1ab时，原方程组无解。（3）1,1ab时，原方程组有无穷多解。012(1,1,0,0),(1,2,1,0),(1,2,0,1)TTT结构式通解为01122xkk，其中12,kk为任意常数。共6页第3页五、(12分)求向量组1(2,1,4,3)，2(1,1,6,6)，3(1,2,2,9)，4(1,1,2,7)，5(2,4,4,9)的极大线性无关组与秩，并将其余向量用极大无关组线性表示.解设11223344550kkkkk，其系数矩阵为21112101041121401103A46224000133697900000－－－－－＝　　　　－－－－（1）12345(,,,,)3r（2）极大线性无关组为124,,（3）312；5124433六、(10分)已知矩阵210131012A，求50A解.210det()det1310012IA，特征值为1231,2,4，特征向量为123(1,1,1),(1,0,1),(1,2,1)TTTppp正交阵为11132612036111326P，50(1,2,4)TAPdiagP共6页第4页七、(10分)判定下面的二次型是否正定323121232221321484525),,(xxxxxxxxxxxxf.解524222425A10A，252452det0,det222022425A所以123(,,)fxxx正定八、(8分)(注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题).(1)若三阶方阵A有三个互不相等的特征值1,2,4，设22BAAI，求：det(*)B.(2)设3()TLR，定义为TT12312323123(,)(2,,2)Txxxxxxxxxxx，T3123(,,)xxxR.求：T的值域与T的秩，T的核与T的零度.解（1）B的特征值为3,1,7，det()21B，2det(*)21B（2）值域()RT的基为(1,0,1),(2,1,1)TT，T的秩为2，T的核的基为(3,1,1)T，T的零度为1.共6页第5页九、（6分）证明：n阶实矩阵A为正定矩阵的充要条件，是存在n个线性无关的实向量12(,,),1,2,,iiiinmmmin，使得TTT1122nnA.解A正定的充要条件是存在可逆阵M使TAMM，M可逆的充要条件是存在实的线性无关的行向量12(,,),1,2,,iiiinmmmin使1nM，即TTT1122TnnAMM共6页第6页