第四章轮廓加工的数学基础A.

第四章轮廓加工的数学基础第一节概述一、插补的概念轮廓的形状是由各种线形构成的，用户在零件加工程序中，一般只提供描述该线形所必须的相关参数。为了实现轨迹控制，在运动过程中要实时计算出满足线形和进给速度要求的若干中间点。插补就是根据给定进给速度和轮廓线形的要求，在轮廓的起点和终点之间，确定一些中间的方法。对于轮廓控制系统来说，最重要的功能就是插补功能。因为插补运算是在机床运动过程中实时进行的，即在有限的时间内，必须对各坐标轴实时地分配相应的位置控制信息和速度控制信息。插补算法的优劣，将直接影响CNC系统的性能指标。插补的实质数控装置向各坐标提供相互协调的进给脉冲，伺服系统根据进给脉冲驱动机床各坐标轴运动。数控装置的关键问题：根据控制指令和数据进行脉冲数目分配的运算（即插补计算），产生机床各坐标的进给脉冲。插补计算就是数控装置根据输入的基本数据，通过计算，把工件轮廓的形状描述出来，边计算边根据计算结果向各坐标发出进给脉冲，对应每个脉冲，机床在响应的坐标方向上移动一个脉冲当量的距离，从而将工件加工出所需要轮廓的形状。插补的实质：在一个线段的起点和终点之间进行数据点的密化。由于插补方法的重要性，不少学者都致力于插补算法的研究，使之不断有新的、更有效的插补方法应用于CNC系统。目前，常用的插补算法大致可以分为两大类：脉冲增量插补和数据采样插补。1、脉冲增量插补脉冲增量插补是控制单个脉冲输出规律的插补方法。每输出一个脉冲，移动部件都要相应的移动一定距离，这个距离称为脉冲当量（0.01mm～0.1um）。通常用于步进电机控制系统。2、数据采样插补数据采样插补法是在规定的时间（插补时间）内，计算出各坐标方向的增量值（ΔX、ΔY、ΔZ）。这些数据严格的限制在一个插补时间内（如4ms)计算完毕，送给伺服系统，再由伺服系统控制移动部件运动。移动部件也必须在下一个插补时间内走完插补计算给出的行程，因此数据采样插补也称为时间标量插补，插补时间采用12ms、8ms、4ms、2ms等，对于运行速度较快的计算机，有的选用的更小。插补时间越短，机床的进给速度越快。现代数据机床的进给速度已超过15m/min~30m/min，有些达到60m/min。它适用于直流伺服电动机和交流伺服电动机的闭环或半闭环控制系统。第二节脉冲增量插补主要介绍：逐点比较法数字积分法脉冲增量插补就是分配脉冲的计算，在插补过得中不断向各坐标轴发出相互协调的进给脉冲，控制机床坐标作相应的移动。一、逐点比较法插补原理基本原理：数控装置在控制刀具按要求的轨迹移动过程中，不断比较刀具与给定轮廓误差，由此误差决定下一步刀具移动方向，使刀具向减少误差的方向移动，且只有一个方向移动。一、逐点比较法插补原理逐点比较法插补过程可按以下4个步骤(节拍)进行：第1节拍:偏差判别：判别刀具当前位置相对给定轮廓的偏差情况,以此确定进给方向。第2节拍:进给:使刀具向给定轮廓进给一步,即向减少误差方向移动。第3节拍:偏差计算：由于进给,刀具改变了位置,计算新位置与给定轮廓之间的偏差，作为下一步判别依据。第4节拍:终点判别:判断是否到达被加工轮廓终点,若到达，结束插补；否则，继续插补。逐点比较法既可作为直线插补，又可作圆弧插补。这种算法的特点是：运算直观，插补误差小于一个脉冲当量，输出脉冲均匀，而且输出脉冲的速度变化小，调节方便。因此，在两坐标联动的数控机床中应用较为广泛。1.直线插补(1)偏差计算第一象限直线OE，起点O为坐标原点，直线的终点坐标E（Xe，Ye），直线方程为：动点P与直线的位置关系有三种情况：☻动点在直线上;☻动点在直线上方;☻动点在直线下方。YXe－XYe＝0若P点在直线上，则有YXe－XYe＝0若P1点在直线上方，则有Y1Xe－X1Ye0若P2点在直线下方，则有Y2Xe－X2Ye0因此，可以构造偏差函数为eeXYYXFeieiiYXXYFF=0时，表示动点在OE上，如点P，可向＋X向进给.F0时，表示刀具在OE上方，如点P1，应向＋X向进给.F0时，表示刀具在OE下方，如点P2，应向＋Y向进给.这里将F=0的情况归入F0的情况一同考虑.下面将F的运算采用递推算法予以简化，动点Pi(Xi，Yi)的Fi值为eieeieieieieieiiYFYYXXYYXXYYXXYF)1(111若Fi≥0,表明Pi(Xi，Yi)点在OE直线上方或在直线上，应沿＋X向走一步,假设坐标值的单位为脉冲当量，进给后新的坐标值为（Xi+1，Yi+1）,且Xi+1=Xi+1，Yi+1=Yi,新点偏差为:即Fi+1=Fi-Ye若Fi0，表明Pi（Xi，Yi）点在OE的下方，应向＋Y方向进给一步，新点坐标值为(Xi+1，Yi+1)，且Xi+1=Xi,Yi+1＝Yi＋1，新点的偏差为:eieeieieieieieiiXFXYXXYYXXYYXXYF)1(111即Fi+1=Fi+Xe(2)进给第一象限直线偏差与进给方向的关系如下:F≥0时,沿+X方向走一步,F←F-YeF0时,沿+Y方向走一步,F←F+Xe(3)终点判断判别方法:设置一个长度计数器,刀具沿X轴应走的步数为Xe,沿Y轴走的步数为Ye,计数器中存入X和Y两坐标进给步数总和∑=∣Xe∣＋∣Ye∣,当X或Y坐标进给时,计数器做减1运算,当计数器减到零时,即∑＝0时,到达终点,停止插补.YNNYF≥0+X进给一步+Y进给一步F←F-Ye开始F←F+XeΣ-1=0？结束Xe,Ye,F←0,Σ=∣Xe∣+∣Ye∣（4）直线插补软件流程图第一象限直线插补结论：(1)开始时,刀具位于直线起点上,偏差为零F＝0,(2)每一新加工点的偏差都可由前一点偏差和终点坐标相加或相减得到。(3)终点判别计数器中存入X和Y两坐标进给步数总和∑=∣Xe∣＋∣Ye∣,进给时,计数器做减1运算,当计数器减到零时,即∑＝0时,到达终点,停止插补。例4-1加工第一象限直线OE，起点为坐标原点，终点坐标为E（4，3）。试用逐点比较法对该段直线进行插补，并画出插补轨迹。12341E(4,3)XYO23解：(1)直线插补运算总步数n=3+4=7序号偏差判别进给偏差计算终点判别000F∑=71F0=0+X33001eYFF∑=62F10+Y14312eXFF∑=53F20+X23123eYFF∑=44F30+Y24234eXFF∑=35F30+X13245eYFF∑=26F50+Y34156eXFF∑=17F60+X03367eYFF∑=0(2)画插补轨迹：YX2E(4,3)O134123直线插补的象限处理与坐标变换（1）象限处理对于第二象限的直线，X的进给方向与第一象限不同，在偏差计算中只要将Xe、Ye取绝对值，代入第一象限的插补公式即可插补运算。第三、第四象限也是一样。●不同象限的直线插补共用一套公式，所不同的是进给方向不同。yxL1F0L2L3F0F0F0L4F0F0F0F0四个象限各轴插补进给方向如下图所示：2.圆弧插补(1)偏差计算设圆弧圆心在坐标原点，已知圆弧起点S(Xs，Ys),终点E（Xe，Ye）。设圆上任意一点为（xi，yi），则下式成立：取偏差函数F为：2222iissFxyxy0)()(2222ssiiyxyx若F0，则动点位于圆弧外侧。若F=0，则动点在圆弧上。若F0,则动点在圆弧内侧。设第一象限动点的F值为,则有,iixyiF2222iiissFxyxy2222iissFxyxy若动点沿-X方向走一步后，则：1122221111,iiiiiiissxxyyFxyxy若动点沿+y方向走一步后，则：121iiiFFy2222(1)21iissiixyxyFx(2)进给第一象限逆圆偏差判别函数F与进给方向的关系如下：F≥0，沿-x方向走一步：F←F-2X+1F＜0沿+Y方向走一步：F←F+2Y+1(3)终点判别与直线插补相同,将沿X、Y轴走的总步数存入一个计数器，Σ=∣Xe-Xs∣+∣Ye-Ys∣每走一步∑减1，当∑＝0时发出停止信号。(4)第一象限圆弧插补软件流程图NYNYF≥0+y向进给-x向进给F←F+2y+1y←y+1开始F←F-2x+1x←x-1Σ-1=0？结束x←xs,Y←Ys,F=0,Σ=∣Xe-Xs∣+∣Ye-Ys∣第一象限圆弧插补结论(1)开始时,刀具位于圆弧起点上,偏差为F＝0,(2)每一新加工点的偏差都可由前一点偏差和2倍动点坐标相加(正向进给)或相减(负向进给),再加1得到。(3)终点判别:计数器中存入X和Y两坐标进给步数总和,进给时,计数器做减1运算,当计数器减到零时,即∑＝0时,到达终点,停止插补。例4-2现欲加工第一象限逆圆弧AB,如图所示,起点A（5，0）,终点B（0，5）,试用逐点比较法进行插补。XYB(0,5)A(5,0)解:(1)圆弧插补运算过程:步数偏差判别坐标进给偏差计算坐标计算终点判别000Fx0=5,y0=0n=101F0=0-x100219FFxx1=4,y1=0n=92F10+y211218FFyx2=4,y2=1n=83F20+y35Fx3=4,y3=2n=74F30+y40Fx4=4,y4=3n=65F4=0-x57Fx5=3,y5=3n=5圆弧插补过程:步数偏差判别坐标进给偏差计算坐标计算终点判别6F50+y60Fx6=3,y6=4n=47F6=0-x75Fx7=2,y7=4n=38F70+y84Fx8=2,y8=5n=29F80-xF9=1x9=1,y9=5n=110F90-xF10=0x10=0,y10=5n=0(2)画插补轨迹：圆弧插补的象限处理●圆弧所在象限不同,逆顺不同,则插补公式和进给方向均不同.●无论哪个象限,都用坐标的代数值运算。进给坐标计算偏差计算终点判别+X11iiXX121iiiXFF01ieXX-X11iiXX121iiiXFF01ieXX+Y11iiYY121iiiYFF01ieYY-Y11iiYY121iiiYFF01ieYY四个象限圆弧插补进给方向圆弧插补的象限处理YYNR2NR1SR2SR10X0XNR3NR4SR3SR4a)逆圆弧b)顺圆弧圆弧自动过象限圆弧过象限，指圆弧的起点和终点不在同一象限内。应先进行过象限判断.●当X＝0或Y＝0时过象限。需将圆弧分成两段圆弧进行处理，调用相应的插补程序。●过象限圆弧线型变化规律：逆时针圆弧过象限后的转换顺序是NR1，NR2，NR3，NR4，每过一次象限，象限顺序号加1；顺时针圆弧过象限的转换顺序是SR1，SN2，SR3，SR4，每过一次象限，象限顺序号减1。二、数字积分法设有一函数Y＝f(t)，求此函数在to~tn区间的积分,就是求出此函数曲线与横坐标t在区间（to，tn）所围成的面积。0nttSftdtYYiYi+1)△tY=f(t)t0tti+1tn如果将横坐标区间段划分为间隔为t的很多小区间，当Δt取足够小时，此面积可近似地视为曲线下许多小矩形面积之和。有YYiYi+1)△tY=f(t)t0tti+1tn01nntiitiSydtyt1niiSy在数学运算时，取Δt为基本单位“1”，则上式可简化为：YYiYi+1)△tY=f(t)t0tti+1tn1.DDA直线插补设有一直线OE,起点在原点,终点为(xe,ye).Vx，Vy分别表示动点在x、y轴方向的速度，在x、y轴方向的微小位移增量为：xyxVtyVt对于直线函数来说，满足下式：xeyeVkxVkyLyVvLxVveyexLVk坐标的位移增量为tkyytkxxee各坐标轴的位