第四章频域分析

-4-1-第4章频域分析前面三章中，我们已介绍了信号处理技术的理论基础。从本章开始，我们将具体介绍信号分析的方法。信号分析和处理的目的是要提取或利用信号的某些特征。而信号既可以从时域描述，也可以从频域描述，因此，按分析域的不同，信号分析方法可分为时域分析法和频域分析法。在多数情况下，信号的频域表示比起其时域表示更加简单明了，容易解释和表征。因此，我们首先介绍信号的频域分析法。4.1概述一、频域分析法1.定义所谓信号的频域分析．．．．．．．，就是根据信号的频域描述（如DFT、FFT等）对信号的组成及特征量进行分析和估计。2.频域分析的目的（1）确定信号中含有的频率组成成份（幅值、能量、相位）和频率分布范围；（2）分析各信号之间的相互关系；（3）通过系统的输入与输出频谱，求得系统的传递函数，识别系统的动力学参数；（4）通过频谱分析，寻找系统的振动噪声源和进行故障诊断；二、频谱1.定义所谓频谱，也就是信号的频域描述。2.分类对于不同的信号和分析参数，我们可以用不同类型的频谱来表示。（1）周期信号：离散的．．．幅值谱、相位谱或功率谱（2）非周期信号：连续的．．．幅值谱密度、相位谱密度或功率谱密度（3）随机信号：具有统计特征．．．．的功率谱密度3.功率谱（1）自功率谱：一个信号的能量（功率）沿频率轴的分布；（2）互功率谱：分析两个信号的互相关情况；注意：由于互谱是从互相关的角度来描述信号的，所以互谱本身并不含有信号功率的意义。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4.倒频谱所谓倒频谱，是指对功率谱再作一次“谱分析”以研究功率谱中的周期现象（如谐波引起的周期性功率谱峰值）。5.相干分析所谓相干分析，是指通过求解两个频谱的相干函数来研究它们之间的相关程度（如系统输出频谱与输入频谱的相关程度）。三、谱估计1.定义由于我们所研究的实际信号通常是含有确定性信号的随机信号，且信号的测试只能在有限时间内进行，因此，我们不可能按定义从无限区间求得真实的频谱，而只能在有限域中进行计算（比如，由有限长的离散采样序列来求得频谱）。这种频谱实际上只是真实频谱的一种估计值，故称为谱估计。2.分类-4-2-目前，谱估计方法大致可以分为：（1）经典法（线性估计法）——用传统的傅里叶变换分析方法求谱。它又包括：○1间接法（相关估计法）——由数据的自相关序列求功率谱；○2直接法（周期图法）——由数据直接用离散傅里叶变换求功率谱；（2）现代法（非线性估计法）——用参量信号模型来估计谱。它又包括：○1自回归信号（AR）模型○2滑动平均（MA）模型○3自回归滑动平均（ARMA）模型注意：这里我们重点介绍经典法。4.2功率谱分析及应用一、功率谱分析的目的进行功率谱分析的目的在于：研究信号的能量（或功率）的频率分布，并突出信号频谱中的主频率。注意：这里我们着重介绍自功率谱的分析，以下都简称为功率谱。二、功率的概念一般来说，信号的功率与其幅度的平方成正比，相应的谱称为功率谱。在时域内，任何实信号x(t)的平均功率定义为2/2/2)(1limTTTdttxTP式中，|x(t)|2为信号x(t)的瞬时功率。若积分dttx2)(收敛，则表示信号x(t)的总能量。三、帕塞瓦（Parseval）定理下面我们将推导信号x(t)的功率与其频谱之间的关系，即帕塞瓦定理。1.数学推导设实信号x1(t)、x2(t)的频谱分别为X1(jΩ)、X2(jΩ)，即)()()()(2211jXtxjXtx，则由傅里叶变换（FT）的反、正变换定义式，可得djXjXdjXjXdtetxdjXdtdejXtxdttxtxtjtj)()(21)()(21)()(21)(21)()()(*1212122121)()()(111jXjXtx则为实信号，由于上式表示功率定理．．．．。若实信号x1(t)=x2(t)=x(t)，即X1(jΩ)=X2(jΩ)=X(jΩ)，则由上式结论，得djXdjXjXdttx22)(21)()(21)(也为偶函数为偶函数，即的对称性，可知由为实信号，则由于2)()()(jXjXFTtx-4-3-02)(1djX（4.2.1）上述关系式表明了信号x(t)的功率与其频谱之间的关系，我们通常将称为帕塞瓦定理．．．．．。2.说明（1）（4.2.1）式中的实函数|X(jΩ)|2离散时，称为功率谱（或能量谱）；若为连续时，则称为功率谱密度（或能量谱密度）；（2）（4.2.1）式中含有幅度谱绝对值的平方|X(jΩ)|2，但未给出其相位信息，这表明：○1若仅给定信号的功率，则无法恢复信号；○2对于幅度谱相同，相位谱不同的信号而言，其功率谱相同；（3）由FT的时移定理和尺度变换定理，我们不难导出信号的时移和时域展缩对其功率谱的影响：○1当信号发生时移时，即t→t±t0，则功率谱不变；○2当信号作时域展缩时，即t→kt，则功率谱将降低为原来的1/k倍。（4）注意：上述讨论中假定：信号．．．．．．．．．．x．(．t．)．的总能量和平均功率都是有限的。这是（．．．．．．．．．．．．．．．．．．4.2.1．．．．．）．式所示的帕塞瓦定理成立的前提。．．．．．．．．．．．．．．．若信号x(t)的总能量无限，但其平均功率有限（如海浪波动）时，则我们只考虑其在T内的有限部分，于是我们可用下式来代替（4.2.1）式所示的帕塞瓦定理，即2/2/22)(21lim)(TTTdjXTdttx式中，|X(jΩ)|2/T称为功率谱密度。四、功率谱的计算1.相关估计法所谓相关估计法．．．．．，就是利用DFT的快速算法来计算信号的相关函数，进而求得随机序列的功率谱估计值的方法。因此，要用相关估计法来求解功率谱，我们应首先弄清两个问题：○1相关函数与功率谱之间有何关系？○2如何利用DFT的快速算法来计算信号的相关函数？（1）维纳-欣钦定理维纳-欣钦定理：实．平稳随机序列的功率谱密度．．．．．P．(．e．j．ω．)．与序列的自相关函数．．．．．r．xx．．(．m．)．是一对傅里叶变换，即它们满足序列的傅里叶变换公式mmjxxxxjemrmrDTFTeP)()]([)(（4.2.2）由此可见，维纳-欣钦定理就是我们要找的解决问题○1的理论依据。这样，利用该定理，我们就能由信号的自相关函数来求得其功率谱密度。注意：上述定理要求序列的长度为无限长，但在实际中只能通过计算有限长序列谱，来作为无限长序列谱的估计值。（2）相关的概念所谓相关（又称互相关）．．．．．．．．．是指两个确定信号或两个随机信号之间的关系。对于随机信号来说，信号一般是不确定的，但是通过对其规律进行统计，其相关函数往往是确定的，因而在随机信号的数字处理中，我们可以用相关函数来描述一个平稳随机信号的统计特性。在讨论有限长序列的离散傅里叶变换时，与卷积（包括线性卷积和循环卷积）运算相似，相关运算同样存在线性相关和循环相关两种类型。-4-4-I.线性相关1）定义设两个长度分别为N、M的有限长实序列x(n)和y(n)，其线性相关就定义为nxymnynxmr)()()(（4.2.3）式中，rxy(m)又称为互相关函数。2）说明○1线性相关与线性卷积的比较设两个长度分别为N、M的有限长序列x(n)和y(n)比较线性卷积线性相关定义式mmnymxnynx)()()()(（变量为m）nxymnynxmr)()()(（变量为n）运算结果N+M-1N+M-1实现翻褶、平移、相乘、相加平移、相乘、相加交换律满足（原因参见式[a]）不满足（原因参见式[b]）式[a]：)()()()()()()()()()(nxnymnxmyknxkymnymxnynxmkm式[b]：)()()()()()()()(mrmnynxmkykxmnxnymrxynknyx一般，由于x(n)和y(n+m)的相似程度与x(n)和y(n-m)的相似程度是不同的，则rxy(-m)≠rxy(m)，故ryx(m)≠rxy(m)。○2自相关函数当信号x(n)与其自身相关时，即令（4.2.3）式中x(n)=y(n)，则可得信号．．x．(．n．)．的自．．相关函数．．．．nxxmnxnxmr)()()(II.循环相关1）定义长度均为N的有限长序列x(n)和y(n)的循环相关定义为)())(()()(10mRmnymxmrNNnNxy可见，循环相关是在主值区间0≤n≤N-1内进行的，其结果仍为长度N。2）利用循环相关计算线性相关上一章中，我们介绍了利用循环卷积实现线性卷积的方法，同理，这里我们同样可以利用循环相关来计算线性相关，其条件是：-4-5-设两个有限长序列x(n)、y(n)的长度分别为N和M，则循环相关的长度L必须不小于线性相关的长度N+M-1，即L≥N+M-1所以，利用循环相关计算线性自相关的条件为：L≥2N-1。（3）相关估计法的具体步骤正如我们借助于DFT利用循环卷积实现线性卷积一样，这里我们也可以借助于DFT利用循环相关计算线性自相关，其具体过程如下：○1将原序列按长度L=2N-1补零得序列x(k)；○2求x(k)的DFT，得X(m)和它的共轭X*(m)；○3计算DFT乘积，并除以N，得[X(m)X*(m)]/N；注意：功率谱密度的估值)()(1)(mXmXNmPN（其推导参见教材P108式4.2.15），且由维纳-欣钦定理，可知PN(ejω)=DFT[RN(k)]○4求IDFT，得信号x(n)的自相关函数RN(k)=IDFT{[X(m)X*(m)]/N}；可见，利用FFT求得信号x(n)的自相关函数RN(k)后，再利用一次FFT就可计算得到功率谱密度的估值（参见教材P107式4.2.12）1,,1,0)()]([)(1)1()/2(NmekRkRDFTmPNNkmkNjNNN，2.周期图法可以证明（具体推导参见教材P108式4.2.15）：有限长实随机序列的功率谱估计值就等于其傅里叶变换的模平方除以N，即2)(1)()(1)(jjjjNeXNeXeXNeP由此可知，除了上面介绍的相关估计法，我们还可以利用FFT直接计算功率谱的估计值，这种方法称为“周期图法”。（1）周期图法的具体步骤○1假设对序列{xn}进行N（其中N=2m）点采样；○2使用适当的窗函数．．．．．．，截取原始序列中的一段{xk}（k=0,1,…,N-1）进行分析；注意：随着分析研究的目的不同，所选用的窗函数也就不同，例如，若需要求取频域中的主频率，则选用矩形窗；若需要修正某频率分量的幅值，减小泄漏，则选用哈明窗。○3用FFT计算序列{xk}（k=0,1,…,N-1）的离散傅立叶变换；○4计算功率谱P(fk)（其中主频率fk=k·fs）；○5对功率谱P(fk)进行修正。修正的原因：由于对原始数据进行了加窗处理，因此需要再用比例因子（又称为归一化系数）修正功率谱值。（2）说明与相关估计法相比，周期图法是一种运算量少、简便、快速的方法，但是这种方法会带来一定的估计误差。因此，在实际信号处理时，往往采取某些措施对周期图法进行改进，以尽量减少估计误差，其具体措施如下：○1采取窗处理减少功率泄漏；由于在对随机序列进行截取而获得有限长序列时，必然会出现吉布斯效应．．．．．，使原来集中于小范围的信号功率扩散到较大的频带内，从而造成功率泄漏。为了减少功率泄漏，我们可以通过在时域加窗，使功率谱在频域内收敛得更快，这相当于对功率谱进行平滑滤波。-4-6-○2采取平均化处理减小统计变异性；一般，在分段处理时，结合2:1覆盖分