第四讲求极限的综合方法

高等数学方法应用求极限的综合方法——冯伟杰高等数学方法应用◆L-Hospital法则◆Heine归结原理——数列极限和函数极限的关系◆等价无穷小替换◆两个重要极限◆其它：利用导数或微分的定义、微分中值定理等◆极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理◆带Peano型余项Taylor公式高等数学方法应用◆L-Hospital法则型00,1,0型型0型00型0101000000取对数高等数学方法应用xexxx10)1(lim●xxy1)1()1ln(1lnxxy2)1ln(11xxxxyy2)1ln()1(1xxxx])1ln()1(1[)1(lim210xxxxxxx])1ln()1(1[lim20xxxxex)1()1ln()1(lim20xxxxxex22)1ln(lim0exxex1再次使用)00(高等数学方法应用xxxex110])1([lim●exxxx10)1(ln1limxxxx1)1ln(1lim0故原式21e先取对数20)1ln(limxxxxxxx2111lim021)1(高等数学方法应用洛必达法则是求不定型的一种有效方法,但要注意：1、求极限过程中，若某个因子的极限已知，则可先提出已知极限；2、求极限过程中，可连续使用洛必达法则，直至求出不定型的极限；3、在求不定型过程中，不是必须使用洛必达法则才行，还可以使用其他方法如等价无穷小替换、带Peano型余项的Taylor公式以及重要极限，或者它们相互结合使用，效果会更好。高等数学方法应用◆等价无穷小替换.)'1(lim)1(lim3,'limlim2''limlim1,'~,'~'11）幂指型代换：（是给定的因变量；其中）乘积型代换：（；）分式型代换：（有两对等价无穷小xxxexcos1120)1(lim●22202)1(limexxx)1(高等数学方法应用xexxx10)1(lim●xeexxx)1ln(0limxeexxx]1[lim1)1ln(02)1ln(lim1)1ln(lim200exxxexxxexx)1(limnnnn●)1(limlnnnnen0lnlimlnlimnnnnnnn高等数学方法应用)1(lnlnln)lnln(lim0aaxaxaxx●,1lnlnlnlnlnlnaxxaaxax)1lnln(1lnlnlnlnaxaxaxaxaxaaxaxlnlnln21lnln~型0高等数学方法应用axaxaxxlnlnln)lnln(lim0axaaxxlnlnln2)lnln(lim0aaxaaxxln2lnlnln2)lnln(lnlim0高等数学方法应用●.,0以下各量的等价无穷小时求当xxxsintan)1(xx)arctan(sin)2(xxarcsin22arcsin)3()cos1(tanxx321~x))(sintan(arctan~xxxxxxtansin1tansin321~x)'arcsin22(arcsinxx2212412xx22221414112xxxxxxtansin~高等数学方法应用)(21~1122xx)4(21~14122xx)'arcsin22(arcsinxx)411(2~22xx23~x3~arcsin22arcsinxxx22221414112xxxx加减运算中慎用等价无穷小替换)]141()11[(2~22xx高等数学方法应用)]1()21)(11[(lim222nnnnn●ennnnnnn)1()1()21)(11(2222夹逼准则失效！)1ln()21ln()11ln(222nnnn22221~nnnn不能使用等价无穷小替换！高等数学方法应用◆带Peano型余项Taylor公式)(!!212nnxxonxxxe)()!12()1(!5!3sin121253nnnxonxxxxx常用的带Peano型余项Taylor公式)(1)1(32)1ln(1132nnnxonxxxxx)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx高等数学方法应用)(!)1()1(!2)1(1)1(2nnxoxnnxxx)(1112nnxoxxxx高等数学方法应用)]1()21)(11[(lim222nnnnn●)1(1)11ln(222nonn)1(2)21ln(222nonn)()1ln(222nnonnnn)1ln()21ln()11ln(222nnnn22221nnnn2121e)1(non)1(12non高等数学方法应用]1)2[(lim6123xexxxxx解!31原式,xxexxx123)2()]1(!31!2111)[2(33223xoxxxxxx!31223xxx636111xxx)]1(1211[663xoxx)1(33xox212xx)1(o212x)1(3ox●高等数学方法应用难点：Taylor公式展开的阶数解决：通常展开到两、三项即可.展开多余项可以合并到高阶无穷小中.).()(5);()()(4);()()(3;)(2);()(1,nmnmnmnmnnmnnmxoxoxxoxoxoxoxoxonxoxxoxonmnm）（）（）（，只要）（）（，则是正实数，且设上列各式中等号的意义为“左边等于右边”，而反之不然高等数学方法应用●____0tannxeexnxx则是同阶无穷小，与时，设xxeeeexxxxxtan~]1[tantan提示：利用Taylor公式可以寻找等价无穷小)cos(sinsecxxxx!33xxxxxcossin~3~)(3333xxox)(2xo)(3xo)21(2xx●.)(0,1)0(,0)0('')0(')0(0的等价无穷小量时，则当处有三阶导数，且设在xfxffffx高等数学方法应用◆等价无穷小替换+带Peano型余项Taylor公式◆L-Hospital法则求极限的常用方法◆两个重要极限◆其它：利用导数或微分的定义、微分中值定理等◆极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理高等数学方法应用●xxxxxxffffxxfexxfx10310))(1(lim)2();0(),0(),0()1(,0)(,))(1lim求的邻域内有二阶导数在且（已知极限分析：0))((lim0xxfxx0)0(,0)0(ff0)(lim)(lim00xxfxxfxx型1◆两个重要极限高等数学方法应用220)(lim3xxfxx2)(lim20xxfxxxxfxxfxxxxxfxe1)()(20322))(1(lim4)0(fxxxfxfxxxxxxfxxf1)()(010))(1(lim))(1(lim2e2)()0(''21)0()0(lim2220xxoxfxffx高等数学方法应用极限的应用——计算连续复利则第一年末的本利和为若每年计息一次，的一笔投资考虑年利率为,0Ar)1(000)1(1rArAAy第二年末的本利和为2000)2(1)1()1()1(rArrArAy年末的本利和为第tttttrArrArAy)1()1()1(01010)(1年末的本利和为，则第年记利次数为，为度计息，每季度的利率若不按年计算，而按季tttr44高等数学方法应用ttrAy40)(4)41(年末的本利和为，则第同理可知，如按月计算tttrAy120)(12)121(年末的本利和为次，则第一般的，若每年计息tnnttnnrAy)1(0)(年末的本利和为利，则第如果随时生息，随时复trtntntnnteAnrAyA00)()1(limlim——连续复利计算公式高等数学方法应用使本利值加倍？时间的连续复利，需要多长年利率是例%6teAA06.000255.1106.02lnt高等数学方法应用●)!(lim21nnn)!(!ln1122nnnen!ln102nn0ln1ln12nnnnn!ln102nn)ln22ln11ln(1nnn0lnlimnnn或者◆极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理0高等数学方法应用).0(0!limanann证明证,1,!1nnnnunaunau则记,11,nan应有于是对充分大的是单调下降的，即}{nu),(0nun又,1nnuu●高等数学方法应用,limrunn存在据定理,lim1runn于是.0!limlim,0naurnnnn即得,11nunaunn式中令在注：数列前面有限项的变化不会影响它的收敛性，所以我们可以将“从某一项开始为单调的数列”看作单调数列。高等数学方法应用●______11lim,11sin)2(11sin}{1nkknnnxnnnxnnx则满足设11sin)2(11sinnnxnnnnkknnkknxnxn111lim11lim1limnnx1由Stolz定理的推论高等数学方法应用Stolz定理一：也被称为数列极限的洛必达法则11lim0,}{0,}{nnnnnnnbbaaba且递减趋于数列趋于设数列11limlimnnnnnnnnbbaaba，则存在或Stolz定理二：nnnnnnnnbbaaba11limlim，则存在或且严格递增趋于数列nnnnnnbbaab11lim,}{高等数学方法应用Stolz定理推论1：anxxxaxnnnn21lim,lim则设Stolz定理推论2：axxxaxxnnnnnn21lim,0lim,0则设Stolz定理推论3：axaxxxnnnnnnnlim,lim,01则设22lim221annxxxnn高等数学方法应用◆其它：利用导数或微分的定义等则处可导，且在若函数,1)1(1)(fxxf●xxfxfxfx)tan31(2)sin21()1(lim0xxffxfxfxfxfxxx)tan31(2)1(2lim)1()sin21(lim)1()1(lim000)1('6)1('2)1('fffnnafnafafaxf])()1([lim,0)()(则可导，且在点若●高等数学方法应用●]1)1([lim)()1(nfnexyxfynyx则确定，由方程函数●xxxxsin)sin2()tan2(lim10100102101且,,3,2,1,0nbxann.limlim0xbannnn)()()(lim0xf