第四讲速度分布函数,麦克斯韦速率

第三章气体分子热运动速率和能量分布§3.1气体分子的速率分布律§3.2用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布§3.3玻尔兹曼分布率重力场中微粒按高度的分布§3.4能量按自由度均分定理第一章我们引入了平衡态和温度的概念，但在热力学范围内不能得到深刻的认识。第二章以分子运动论为基础，认识了压强和温度的微观本质，对平衡态下分子热运动的规律有了初步认识，我们有一个基本的统计公理（假设）。这个公理只解决了分子热运动速度方向的几率问题，并没有涉及分子热运动速率大小取值的概率，无法作进一步的定量分析。分子热运动情况是分子物理的重要研究对象，我们必须讨论速率大小取值的概率问题。由于分子数目如此巨大，速率的取值从0到∞，这个取值区间非常大，分子在任何一个微小速率范围内的取值其概率都不会大，但到底有多小却不易判断。所以，这是一个大数量偶然微观运动的集体效应的问题，既统计的问题，对应的规律就是一个统计规律。一般地研究这个问题比较复杂，我们以理想气体为基础来开展讨论。3－1麦克斯韦气体速率分布律引言：气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分子的速度都在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守一定的统计规律——气体速率分布律。气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克斯韦于1859年在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学中导出，1920年斯特恩从实验中证实了麦克斯韦分子按速率分布的统计规律。麦克斯韦（JamesClerkMaxwell1831——1879)19世纪伟大的英国物理学家、数学家。经典电磁理论的奠基人，气体动理论的创始人之一。•他提出了有旋电场和位移电流概念，建立了经典电磁理论，预言了以光速传播的电磁波的存在。•1873年，他的《电磁学通论》问世，这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它是人类探索电磁规律的一个里程碑。•在气体动理论方面，他还提出气体分子按速率分布的统计规律。统计规律性分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分子组成的系统的热性质。其中个别分子的运动（在动力学支配下）是无规则的，存在着极大的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律性。（例：理想气体压强）人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为的规律性称为统计规律性速度取向的概率问题。速度是矢量，必须解决有关大小取值的概率问题。首先我们容易想到这样两个事实：1。由于分子受到频繁的碰撞，每个分子热运动的速率是变化的，要某一分子具有多大的运动速率没有意义，所以只能估计在某个速率间隔内出现的概率；2。哪怕是相同的速率间隔，例如都是100ms-1，但是不同的速率附近，其概率是不等的，例如，100-200ms-1和500-600ms-1有相同的速率间隔，但第一个间隔总的来说速率较低，第二个间隔总的来说速率较大，其概率是不等的。比如，速率接近为0的可能性很小，速率非常大的可能性也很小，而居中速率的可能性则较大。根据这个两个事实，我们自然要问，在不同速率间隔取值的概率有没有规律？肯定是有的，这个规律能用一个函数定量表示出来。为此，我们引入速率分布函数来描述分子热运动在不同速率间隔取值的概率规律。§1、气体分子的速率分布律速率分布函数的定义：一定量的气体分子总数为N，dN表示速率分布在某区间v~v+dv内的分子数，dN/N表示分布在此区间内的分子数占总分子数的比率。实验规律：•在不同的速率附近，给定的速率间隔dv内，比值dN/N是不同的。容易想见，速率间隔越大，dN/N？•dN/N是v的函数；•当速率区间足够小时（宏观小，微观大），dN/N还应与区间大小成正比。1、速率分布函数为此，规定以单位速率间隔为比较标准，即，这样，比值就反映出了分布随速率v的改变而改变。为此我们规定；NdvdNNdvdNNdvdNvf)(速率分布函数定义：处于一定温度下的气体，分布在速率v附近的单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比只是速率v的函数，称为速率分布函数。理解分布函数的几个要点：1.条件：一定温度（平衡态）和确定的气体系统，T和m是一定的；2.范围：（速率v附近的）单位速率间隔，所以要除以dv；3.数学形式：（分子数的）比例，局域分子数与总分子数之比。物理意义：速率在v附近，单位速率区间的分子数占总分子数的概率，或概率密度。100dvvfNdNN()dNfvdvN表示速率分布在v→v+dv内的分子数占总分子数的概率21)(vvdvvfNdN＝表示速率分布在v1→v2内的分子数占总分子数的概率归一化条件应注意的问题:分布函数是一个统计结果，以上各种讨论都是建立在众多分子微观运动基础上的，分子的数目越大，结论越正确。所以：1）少数分子谈不上概率分布偶然事件少了，或分子数少了，就不能表现出稳定的统计特性。例如，抛两分的硬币，抛的次数越多，币制和国徽朝上的次数才更加接近相等，否者将有很大差异。2）统计规律表现出涨落所谓涨落就是对稳定的统计结果的偏差，统计规律必然伴随着涨落。例如，在某一速率v附近dv间隔内求出的比值dN/N是0.06，表示有6%的分子，它们的速率取值分布在（v，v+dv）内，但并不是说，每时每刻就一定是0.06，也有可能是0.05998，0.0601，…等等，但长时间的平均值仍是0.06。3）“具有某一速率的分子有多少”是不恰当的说法f(v)是针对v附近单位速率间隔的，离开速率间隔来谈分子数有多少就没有意义了。4）气体由非平衡到平衡的过程是通过分子间的碰撞来实现的。因此，分子间的碰撞是使分子热运动达到并保持确定分布的决定因素。课堂练习1．速率分布函数的物理意义为：（Ａ）具有速率的分子占总分子数的百分比．（Ｂ）速率分布在附近的单位速率间隔中的分子数占总分子数的百分比．（Ｃ）具有速率的分子数．（Ｄ）速率分布在附近的单位速率间隔中的分子数．vfvvvv（Ｂ）练习2、下列各式的物理意义分别为:(1)vvfd)((2)vvNfd)((3)21d)(vvvvf(4)21d)(vvvvNf速率在v-v+dv内的分子数占总分子数的百分比速率在v-v+dv内的分子数速率在v1→v2内的分子数占总分子数的百分比速率在v1→v2内的分子数练习3．在平衡状态下，已知理想气体分子的麦克斯韦速率分布函数为、分子质量为、最可几速率为，试说明下列各式的物理意义：)(vfmPv（１）表示________________；Pvdvvf（２）表示______________．0221dvvfmv分子平动动能的平均值分布在速率区间的分子数在总分子数中占的百分率Pv练习4．已知分子总数为，它们的速率分布函数为，则速率分布在区间内的分子的平均速率为N)(vf21vv21vvdvvvf2121vvvvdvvfdvvvf21vvdvvNvfNdvvvfvv21（A）（C）（B）（D）（B）2.麦克斯韦速率分布律在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在速度区间~的分子数占总分子数的比率为vvdvdvvekTmNdNkTmv22232242223224vekTmvfkTmv麦克斯韦速率分布函数m——分子的质量T——热力学温度k——玻耳兹曼常量vPvv+dvv面积=dN/Nf(v)曲线下面宽度为dv的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的概率dN/N。.麦克斯韦速率分布曲线21vvdvvfNNOv)(vfdvpv1v2vdvvfNdN在f(v)~v整个曲线下的面积为1-----归一化条件。最概然速率平均速率方均根速率分子速率的三个统计值最概然速率(themostprobablespeed)物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等的小区间，则分布在vP所在区间的分子数比率最大。令解得0pvvdfvdv2mpkTvmvp随T升高而增大，随m增大而减小注：2mRTM定义：与f(v)极大值相对应的速率，称为最概然速率。同一气体，不同温度vP与温度T的关系:T112TTov()fv1Pv2PvT22pkTTvm曲线的峰值右移,由于曲线下面积为1不变，所以峰值降低。不同气体，同一温度vP与分子质量m的关系:曲线的峰值左移,由于曲线下面积为1不变，所以峰值升高。2pkTmvm21mmov)(vf1Pv2Pvm2m1练习5.图为同一种气体，处于不同温度状态下的速率分布曲线，试问（1）哪一条曲线对应的温度高？（2)如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条对应的是氢气？解：2pmolRTvM(1)T1T2(2)红：氧黑：氢f(v)vT1T22pv1pv平均速率(theaveragespeed)dNfvNdvdNNfvdvdvvvNfvdN001vdNvvNfvdvNN8kTvm由于则有0vfvdv8mRTM用分布函数计算平均值d)()(0fWW方均根速率(theroot-mean-squarespeed)220vvfvdv232242042mvkTmvevdvkT23kTvm3kTm3mRTM3mRTM最概然速率mpMRTmkTv22平均速率mkTv8mMRT8方均根速率mkTv32mMRT3ov()fvpv2vv三种速率的比较三种速率统计值有不同的应用：在讨论速率分布时，要用到最可几速率；在计算分子运动的平均距离时，要用到平均速率；在计算分子的平均平动动能时，要用到方均根速率。补充:气体分子按平动动能的分布规律ππ23/22/24()2kTNeNkTvvv麦克斯韦速率分布定律212vvvππ/123242()(2)kTNfeNkT上式表明理想气体在平衡态下，分子动能在~+区间内的分子数与总分子数的比率。意义：代入上式得思考最概然平动动能是否等于最概然速率所对应的平动动能?两边微分氦气的速率分布曲线如图所示.解例1求(2)氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率1000He2Hm/s31000210RTH23()10RTpvm/s31.4110H223()RTMvm/s31.73102RTMpv(1)试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况，(2)f(v)v有N个粒子，其速率分布函数为00000202)(0vvvvvvvvvvafa(1)作速率分布曲线并求常数a(2)速率大于v0和速率小于v0的粒子数解例2求023av00112aavv(1)由归一化条件得dd0002001aavvvvvvva0v()fv02vvO(2)因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分子与总分子数的比率，所以002233vv因此，vv0的分子数为(2N/3)同理vv0的分子数为(N/3)0aNvN0vv23NN的分子数与总分子数的比率为a0v)(vf02vvO根据麦克斯韦速率分布律，试求速率倒数的平均值。1()v根据平均值的定义，速率倒数的平均值为d011()()fvvvvπdπ23/22014()2kTevkTv2vvπdπ23/22204()()()22kTkTekTkTvv2448kTkTv解例3根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率vp~vp+Δv区间内的分子数与温度成反比(设Δv很小)Tππ23/2/22()4()2kTfekTvvvπ22/324ppevvvvπ114()ppfevv将最概然速率代入麦克斯韦速率分布定律中，有例4证π14()2pNNNfekTvvv1NT金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动，与容器中的气