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湖南大学等参数作业1有限元等参数单元学生姓名学生学号专业班级任课老师2015年4月26日湖南大学等参数作业2一.等参数单元概述利用等参数单元解决体复杂的曲线边界或需要布置疏密不匀的网格，克服了网格划分受边界的形状影响，单元大小可以不相等，是一种精度高而且应用广泛的单元。本次作业结合无限小单元法和有限单元法的优点,提出了平面等效桁架模型，分析等效后桁架杆件的初始刚度、截面面积以及等效弹性模量等特征值。建立了等效桁架模型的单刚矩阵、应变矩阵和单元的轴力阵。在钢架结构的应用中,给出了平面等效桁架模型的分离式模型,建立了等参单元平面等效桁架模型的单元刚度矩阵。从数学角度上讲,有限单元法是将一个结构或连续体的求解域离散为若干个子域(单元),并通过边界节点连接求解的一种数值计算方法。有限元解的精确性直接与位移插值函数的选取有关。模型复杂,计算烦琐。因此,本文提出了一种新的单元形式即平面等效桁架模型,无限小微元体宏观化后全部等效为平面二力杆件。此模型的最大特点是不需要设形函数,无需考虑介质之间的相互作用,可以全程追踪构件或结构的整个受力过程。特别是对钢筋混凝土结构,用此单元模型中二力杆件的破坏可以明确判断钢筋和混凝土的破坏情况。二、平面等效桁架单元模型1.平面等效桁架模型的假定和总体描述对宏观化之后的平面应力单元做以下基本假定(图1)。(1)方形微元体x、y方向的长度dx=dy=h,与之对应的平面等效桁架模型的外围杆长也为h。z方向厚度为t。(2)微元体的材料弹性模量为E,剪切模量为G,在弹性受力阶段有:G=E/[2(1+v)]其中v为材料的泊松比(3)平面等效桁架模型中水平和竖向杆的初期刚度相同,为keq1;内部两根斜杆的初期刚度为keq2。湖南大学等参数作业3图1平面应力单元与平面等效桁架模型等效图(4)假定在外力作用下,在计算x方向的变形时,两单元y方向上的变形相同。这样在计算两单元刚度等效时,省去y方向的变形这一项。反之亦然。由上可知,将一个正方形微元体简化为4个质点和6根杆组成的平面桁架体系,由于构成桁架单元的各个杆件都是二力杆,只承受轴力,使计算过程简单化,只要这个桁架体系的力学性能(线性和非线性)与原来的平面单元相同,则整体就可以看作由轴向拉压杆组成的集合体。这就必须要求在相同的结点荷载作用下,两种单元模型在相对应的方向上变形相同。2.平面等效桁架模型的计算方法由材料力学的基本原理可知单元在外力作用下会产生变形,两单元的变形如下图2(a)、(b)所示。(a)轴向等效变形湖南大学等参数作业4(b)剪切等效变形图2两种单元的等效荷载-变形关系设图2中微元体轴向变形和剪切变形为D1、D2,与之对应的平面等效桁架模型为Dc1、Dc2,等效计算的条件为等效结点荷载作用下的结点位移相等,即:D1=Dc1;D2=Dc2由力学原理得桁架体系中杆件初始刚度为:Keq1=Eht1+vv+(1+v)2+1Keq2=2#htE/[2(1+v)](1)假设等效后桁架模型中桁架杆受拉或受压强度与原平面应力单元对应相同,由于考虑微元体的弹塑性特性,在桁架体系中杆件达到抗压强度之前,x向桁架杆已被拉断,斜杆也退出工作,而外力主要由y向杆件承受,因此可得桁架体系中x向和y向杆的等效面积A1为原微元体截面面积的1/2,再假设桁架杆的刚度与其面积成正比,与长度成反比,即可得到斜杆的等效面积Aeq2;即:Aeq1=ht/2Aeq2=2Keq2Aeq1/Keq1=ht2v+(1+v)2+1(2)其中keq1,keq2为式(1)中的桁架杆件的等效初始刚度,h为模型的边长,t为厚度,v为泊松比。由轴向拉压杆单位长度刚度公式Keq=EeqAeq,可得桁架杆等效弹性模量:Eeq1=2E1+vv+(1+v)2+1Eeq2=2E湖南大学等参数作业51+vv+(1+v)2+1(3)图3单元节点力等效关系图在有限单元法单元分析中,需将单元边界应力转化为单元等效节点力,等效关系如图3所示。单元等效节点力的计算方法如式(4):式(4)中Fix,Fiy,Fjx,Fjy,Fkx,Fky,Fmlx,Fly表示平面等效桁架单元节点力在x、y方向上的分量。湖南大学等参数作业6图4平面等效桁架单元杆件和结点自由度编号经验证,平面应力单元和平面等效桁架单元两者弹性形变势能、外力势能和总势能分别相等[5],证实等效模型合理。3.平面等效桁架模型的计算步骤基于有限元的解题步骤如下。(1)由相同外力作用下结点等效荷载相等的等效条件,求出平面等效桁架模型的初始刚度Keq1,Keq2。(2)对平面等效桁架单元中的各杆件编号,并对结点自由度和节点力编号,计算各杆的刚度矩阵,由刚度集成原理得单元的单刚Ke,图4给出了单元的编号和自由度编号(假设节点力编号和结点自由度编号相同)。Ke为桁架单元的单元刚度矩阵,形式如式(5)。(3)平面桁架单元的结点力和结点位移关系可表示为:湖南大学等参数作业7{F}e=[K]e{D}e(6)整体分析得:{F}=[K]{D}(7)由式(6)、式(7)结合边界条件可以求得整体结点位移。(4)根据第(3)步骤求得的结点位移,由应变的几何意义可以求出各杆件应变和结点位移的关系为:Nhx,Nhy分别表示桁架单元x、y方向各杆件应变的值,Nik,Njl分别表示内部斜向杆件的应变。式中[D]称为平面桁架单元的几何矩阵。由本构方程可知:{R}e=[D]{N}e=[D][B]{D}e(9)进一步可求出等效杆件的轴力:{N}e=[Aeq][D][B]{D}e(10)由桁架杆的轴力可以很容易的计算出桁架单元的等效结点荷载:上式中称[M]为平衡矩阵。综上可知,对应于等效桁架湖南大学等参数作业8某一结点的位移可以由上述步骤计算出结构的响应。三、平面等效桁架单元在钢筋混凝土结构中的应用1.平面等效桁架模型单元刚度矩阵的修正由于钢筋混凝土结构是由钢筋和混凝土复合材料组成,本文选择钢筋混凝土有限元分析中的分离式模型,对不规则形状的任意四边形单元这里引入了等参单元,并给出了等参变换后的带钢筋单元的平面等效桁架的单元刚度(图5)。图5等参平面桁架模型钢筋结点位移和单元结点位移关系无钢筋时上述四边形等效桁架模型等参单元的刚度矩阵可表示为:其中|J|为雅可比行列式。钢筋单元可按照平面杆件线性单元计算,其刚度矩阵可按照式(13)计算:湖南大学等参数作业9C,S分别表示杆件与水平轴夹角的余弦、正弦。通过图5的几何关系可以将钢筋结点位移和四边形单元结点位移通过座标转换阵联系起来。[R]为座标转换矩阵。[ks]=[R]l[ks][R](15)故计算程序中钢筋混凝土的刚度矩阵为:[KCS]=[KC]+[KS](16)通过等参数单元建立等效平面桁架代替平面应力单元处理非规则的四边形结构来分析平面问题。可将复杂的模型简单化,只要划分的单元足够小,可以符合工程精度的要求。