等效法处理“填补法”类题目

等效法处理“填补法”类题目湖北省恩施高中陈恩谱在万有引力和静电场一章，有一类题目，在物质或电荷的几何分布出现对称的破缺后，若直接用微元法和平行四边形定则求解，数学计算繁复。对这类题目，大多资料介绍的方法是填补法：若填补这些空缺后，使得原来不对称的分布变成对称的分布，从而根据对称性，用现有的物理规律即可获得待求的物理量。不过，“填补法”思路实际上打的是迂回战术，需要先填回去再挖掉，这样的反复对学生提出了较高的思维能力要求，致使其掌握效果不佳。笔者为克服“填补法”的这个缺陷，在总结了大量类似题目后，提出了一种更直接的方法——等效法，这种方法从数学角度讲和“填补法”是等价的，但是因为思路直接，对学生思维能力要求低，所以学生掌握起来就相对容易一些。特此介绍，并期与同行交流。【例1】如图所示，阴影区域是“质量为M、半径为R的球体”挖去一个小圆球后的剩余部分．所挖去的小圆球的球心O′和大球体球心间的距离是R/2．求球体剩余部分对球体外离球心O距离为2R、质量为m的质点P的引力F。【解析】填补法分析：先将挖去部分填补回去，则可得到填补后的球体对m的引力2)2(RMmGF合，这个合F实际上是如图阴影部分和挖去部分对m的引力的矢量和，即FFF合；而挖去部分对m的引力为22181)2(RRmMGF，联立解得210023RMmGF等效法分析：空腔部分可看做是质量为8M和8M的均匀球体组成*，其中8M部分与阴影部分对m的引力21)2(RMmGF，8M对m的斥力为221812)2(RRmMGF，两力的矢量和为22110023RGMmFFF。【例2】如图所示，A、B、C、D、E是半径为r的圆周上等间距的五个点，在这些点上各固定一个点电荷，除A点处的电荷量为－q外，其余各点处的电荷量均为＋q，则圆心O处()A．场强大小为kqr2，方向沿OA方向B．场强大小为kqr2，方向沿AO方向C．场强大小为2kqr2，方向沿OA方向D．场强大小为2kqr2，方向沿AO方向【解析】填补法分析：先将A点处－q换成＋q，这时由对称性可知，O点处场强为零，这个零场强实际上是B、C、D、E四点的电荷的合场强E1与A点处＋q的场强E2的矢量和，由E1+E2=0可知，E1方向向上，大小为kqr2；然后将A点处＋q换回成－q，则－q在O点的场强2E方向向上，大小为kqr2，2E与E1的叠加，得到C答案。等效法分析：将A处的－q看做是＋q和－2q组成，A点处＋q与B、C、D、E四点的＋q在O点处场强为零，这时，只需要考虑－2q在O点处场强，直接选C。【总结】“等效法”的思路就是将“导致不对称的那个部分”视为“两个相反部分”叠合在一起形成的，其中一部分与原来的其余部分组合形成对称分布，从而达到简化计算的目的。【例3】如图1所示，半径为R均匀带电圆形平板，单位面积带电量为，其轴线上任意一点P（坐标为x）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：E=221221xrx，方向沿x轴。现考虑单位面积带电量为0的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r的圆板，如图2所示。则圆孔轴线上任意一点Q（坐标为x）的电场强度为A.202122xrxB.202122xrrC.20rxD.20xr【解析】等效法分析：将图2中空白部分看做是电荷面密度分别为0和0的两部分的组合，其中面密度分别为0的部分与灰色部分组合在一起后在Q点场强为1E=20（分析：r，21221xrx=1），而面密度分别为0的部分在Q点场强为2E=2021221xrx，1E与2E方向相反，则两者的矢量和为202122xrx，本题选A。【例4】如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油。假定区域周围岩石均匀分布，密度为；石油密度远小于，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度(正常值)沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离。重力加速度在原竖直方向(即PO方向)上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。已知引力常数为G。设球形空腔体积为V，球心深度为d(远小于地球半径)，PQ=x，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常。【解析】等效法分析：空腔部分可看做是密度为和两部分的组合，其中密度为的部分与周围岩石、整个地球形成所谓正常重力加速度。造成“重力加速度反常”就是那个密度为的部分，这个部分在Q处产生的“引力加速度”为g=rMG2，方向沿OQ斜向上其中VM，22xdr.重力加速度反常g是这一改变在竖直方向上的投影grdg联立解得2/322)(xdVdGg.*“负质量”是一个数学等效的假设，负质量的物体对正质量的物体的“万有引力”是斥力。负质量与正质量同时存在的区域如同正负电荷一样会“中和”（此处分析时不涉及能量问题）。