等差数列的性质

1.(13广东T12)在等差数列na中,已知3810aa,则573aa_____.【测量目标】等差数列的通项和性质.【难易程度】中等【参考答案】20【试题解析】依题意12910ad,所以57111334641820aaadadad.或:57383220aaaa.2.(13辽宁T4)下面是关于公差0d的等差数列na的四个命题：1p：数列na是递增数列；2p：数列nna是递增数列；3p：数列nan是递增数列；4p：数列3nand是递增数列；其中的真命题为（）A.12,ppB.34,ppC.23,ppD.14,pp【测量目标】等差数列的性质.【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】根据等差数列的性质判定.0d,1nnaa,1p是真命题，（步骤1）1nn,但是na的符号不知道，2p是假命题.（步骤2）同理3p是假命题.13(1)340nnandandd,4p是真命题.（步骤3）3.（13四川T16）在等差数列{}na中，318aa，且4a为2a和9a的等比中项，求数列{}na的首项、公差及前n项和．【测量目标】等差数列的性质.【难易程度】中等.【试题解析】设该数列公差为d,前n项和为nS.由已知,可得21111228,38adadadad.所以114,30addda,（步骤1）解得14,0ad,或11,3ad,即数列na的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.所以数列的前n项和4nSn或232nnnS（步骤2）.4.（12四川T12）设函数()2cosfxxx，{}na是公差为π8的等差数列，125()()()5πfafafa，则2313[()]faaa（）A.0B.21π16C.21π8D.213π16【测量目标】等差数列的性质.【难易程度】较难.【参考答案】D【试题解析】由()2cosfxxx又数列{an}是公差为π8的等差数列，且1234535aaaaaa∴12515243(coscoscos)[coscos+(cos+cos)+cos]aaaaaaaa=33333ππππcos(2)+cos(2)[cos()+cos(+)]+cos8888aaaaa,3cos(1222)a又125()()()5πfafafa∴3cos0,a故3π2a∴2313[()]faaa222233153π13π(2cos)π1616aaaa5.（12江西T12）设数列na，nb都是等差数列，若117ab，3321ab，则55ab___________【测量目标】等差数列的性质.【难易程度】中等【参考答案】35【试题解析】解法一：数列na，nb都是等差数列，数列nnab也是等差数列.故由等差中项的性质，得551133()()2()ababab，即55()7221ab，解得5535ab.解法二：设数列na，nb的公差分别为1d，2d，3311121112122227221abadbdabdddd，127dd，553312235ababdd.6.（12福建T2）等差数列na中，1510aa,47a,则数列na的公差为（）A.1B.2C.3D.4【测量目标】等差数列的性质.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】153210aaa，35a，所以432daa.7.（12广东T11）已知递增的等差数列na满足21321,4aaa，则na____.【测量目标】等差数列的性质.【难易程度】容易【参考答案】21n【试题解析】设等差数列na的公差为d，则212(1)4dd解得2d，（步骤1）因为等差数列na递增，所以2d，故21nan.（步骤2）8.（12浙江T7）设nS是公差为(0)dd的无穷等差数列na的前n项和，则下列命题错误．．的是（）A.若0d，则数列nS有最大项B.若数列nS有最大项，则0dC.若数列nS是递增数列，则对任意n*N,均有0nSD.若对任意n*N,均有0nS，则数列nS是递增数列【测量目标】命题的判断、等差数列的概念及性质.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】选项C显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列nS是递增数列，但是0nS，不成立．9.（11江苏T20)设M为部分正整数组成的集合，数列}{na的首项11a，前n项和为nS，已知对任意整数k属于M，当nk时，)(2knknknSSSS都成立.（1）设M=｛1｝，22a，求5a的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列}{na的通项公式.【测量目标】等差数列的通项公式及性质.【难易程度】较难【试题解析】（1）1112111,1,2(),2()nnnnnnknSSSSSSSS即：212nnnaaa（步骤1）所以，n1时，na成等差，而22a，23211353,2()7,4,8;SSSSSaa（步骤2）（2）由题意：3333,2()nnnnSSSS(1)，4444,2(),nnnnSSSS(2)42134,2()nnnnSSSS(3)53145,2()nnnnSSSS(4)（步骤3）当5n…时，由（1）（2）得：4342,(5)nnaaa由（3）（4）得：5242,(6)nnaaa由（1）（3）得：4212,(7);nnnaaa由（2）（4）得：5312,(8);nnnaaa由（7）（8）知：412,,,nnnaaa成等差，513,,,nnnaaa成等差；设公差分别为：12,,dd由（5）（6）得：532442222,(9);nnnaadaad421541222,(10);nnnaadaad由（9）（10）得：54214122321,2,;nnnnaaddaddaadd(2)nan…成等差，设公差为d,（步骤4）在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：121222+6152(255),452;aadaadad即1212228282(279),351aadaadad即23,2,21.nadan（步骤5）10.（11湖北T19）已知数列{}na的前n项和为nS，且满足：1(0)aaa，nnrSa1(nN，,1)rrR.（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）若存在kN，使得1kS，kS，2kS成等差数列，试判断：对于任意的mN*，且2m…，1ma，ma，2ma是否成等差数列，并证明你的结论.【测量目标】根据数列的前n项和写数列的通项公式，等差数列的性质.【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)由已知1nnarS,可得21,nnarS两式相减可得2111(),nnnnnaarSSra即21(1),nnara又21arara，所以当0r时，数列{}na为：,0,0a…，，…；当0,1rr时，由已知0,a所以0(),nanN于是由21(1),nnara可得211()nnarnaN23,,,naaa…，…成等比数列，22(1).nnnarra，…综上，数列{}na的通项公式为2,1,(1),2nnanarran…（步骤1）（Ⅱ）对于任意的,mN且122,,,mmmmaaa…成等差数列，证明如下：当0r时，由（Ⅰ）知，,10,2,nanan…对于任意的,mN且122,,,mmmmaaa…成等差数列；（步骤2）当0,1rr时，21211,,kkkkkkkSSaaSSa若存在,kN使得12,,kkkSSS成等差数列，则122,kkkSSS12222kkkkSaaS，即212.kkaa（步骤3）由（Ⅰ）知，23,,,naaa…，…的公比12,r于是对于任意的,mN且12,2,mmmaa…从而24,mmaa122,mmmaaa即12,,mmmaaa成等差数列.综上，对于任意的,mN且2,m…12,,mmmaaa成等差数列.（步骤4）11.(11全国T4)设nS为等差数列na的前n项和，若11a，公差2d，224kkSS，则k（）A.8B.7C.6D.5【测量目标】等差数列性质.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】解法一：2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422kkkkkkSSkkk，解得5k.解法二:221[1(1)2](12)4424kkkkSSaakkk，解得5k.12.（11重庆T11）在等差数列na中，3737aa，则2468aaaa=．【测量目标】等差数列的性质.【难易程度】容易.【参考答案】74【试题解析】等差数列na中，3737aa∵37284637aaaaaa∴2468373774aaaa，故答案为：7413.（09福建T3）等差数列{}na的前n项和为nS，且36S，14a，则公差d等于()A．1B．53C．2D．3【测量目标】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等差数列的性质．【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】∵31336()2Saa且3112,4aada，2d．故选C．14.（09江苏T17）设na是公差不为零的等差数列，nS为其前n项和，满足2222234577aaaa,S（1）求数列na的通项公式及前n项和nS；（2）试求所有的正整数m，使得12mmmaaa为数列na中的项.【测量目标】等差数列的性质，通项，前n项和.【难易程度】中等【试题解析】(1)以430aa，即1250ad，（步骤1）又由77S得176772ad，（步骤2）解得15a，2d（步骤3）所以na的通项公式为27nan，前n项和26nSnn.（步骤4）（2）12272523mmmaa(m)(m)a(m)，令23mt，1242mmmaa(t)(t)at86tt，（步骤6）因为t是奇数，所以t可取的值为1，当1t，2m时，863tt，2573，是数列na中的项；（步骤7）1t，1m时，8615tt，数列na中的最小项是5，不符合.（步骤8）所以满足条件的正整数2m.（步骤9）15.（09全国IT14）.设等差数列na的前n项和为nS，若972S,则249aaa=.【测量目标】等差数列的通项和性质.【难易程度】容易【参考答案】24【试题解析】na是等差数列,由972S,得599,Sa58a（步骤1）2492945645()()324aaaaaaaaaa.（步骤2）16.（09安徽T5）已知na为等差数列，1a+3a+5a=105，246aaa=99，以nS表示na的前n项和，则使得nS达到最大值的n是（）A.21B.20C.19D.18学科网【测量目标】等差数列的通项公式，等差数列的性质.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】由135105aaa得33105,a即33