等价无穷小替换在求函数极限中的应用

1等价无穷小在求函数极限中的应用安永河指导教师：马统一（河西学院数学与应用数学专业2013级1班03号甘肃张掖734000）摘要求解函数极限是高等数学中非常重要的内容之一.在求函数极限的过程中恰当应用等价无穷小代换可以使复杂的问题简单化，特别是将该代换应用复合函数求极限.极大的简化了计算的过程.文章提出等价无穷小量的代换定理，并给出其证明.最后给出等价无穷小代换定理的例题.关键词等价无穷小;函数极限;代换;复合函数;应用中图分类号O1741引言高等代数主要研究的是函数，而研究函数的主要方法是极限，因此关于极限的理论与计算是高等数学的重要内容之一.极限的计算方法是多样灵活的，也很有技巧，其中等价无穷小代换是计算不定式极限的常用方法，用它可以求解其他方法难以求解的极限问题，并且使运算过程更为简洁.本文提出了等价无穷小的代换定理，它的提出，使得等价无穷小代换能够更加广泛的应用于求函数极限之中，洛必达法则也经常用于求极限，但有时候合理的应用等价无穷小量代换方法可以收到事半功倍的效果，很多时候甚至比洛必达法则还要简单.在复合函数内部，对其内函数实施等价无穷小代换，大大简化了复合函数求极限的问题.因此有必要对本课题进行深入的研究.2预备知识为了方便后面的讨论，首先给出无穷小量与等价无穷小的定义以及一些常用的等价无穷小替换公式及必要的引理及其证明.几个定义：定义1若lim=0，则称为该极限过程中的无穷小量.定义2设、是自变量在同一变化过程的两个无穷小，且0，若lim=1，则称是的等价无穷小，记作.常用的等价无穷小替换：0x时，2sin,tan,arcsin,1cos,ln1,1ln2xxxxxxxxxxxaxa，2特别地有1xex.引理[2]1设函数fxgx，在Ua有定义，满足：(1),0xUafxgx，，（2）fxgxxa.则有11.lnlnxafxgx证明由条件易知limlnlimlnxaxafxgx=，，从而11lim0,lim0lnlnxaxafxgx，又1lnlnlnlnlnlimlimlimlim111lnlnlnlnxaxaxaxagxgxfxfxgxfxfxfxfxfxgx所以11lnlnxafxgx.引理2若fxgxxa，则ln1ln1.fxgxxa证明由条件易知limln10limln1=0xaxafxgx与，又ln1ln1limlim1ln1ln1xaxafxfxfxgxgxfxgxgx.所以ln1ln1.fxgxxa3等价无穷小代换定理定理𝟏[𝟑]设在自变量的某一变化过程中，,,,xxxx都是无穷小量.1若,gx为同一过程中的另一函数，且limgxA.则lim.gxA3([1]2)若,，fx为同一过程中的另一函数，且limfx存在，则limfx也存在且limlimfxfx.证明(1)因为limlimlimlimgxgxgx，所以limlim.gxgxA2因为limlimlimlimlimlimfxfxfxfx，所以limlimfxfx.定理2设在自变量的某一变化过程中，,,,,,xxrxxxrx都是无穷小量.(1)若,，且lim存在(lim1)，则有().(2)若,，且lim存在(lim1)，则有()(3)若,,,且lim存在(lim1)，则有limlim.证明(1)因为lim11limlim1lim1，又因为4limlim1,所以().同理可得(2)成立.由(1)可得limlim,rr故(3)成立.定理3设,,,均为同一过程中的无穷小量，且,.若1lim1,A则11lim1lim1A.证明ln1ln1limlimln1ln(1)11limln(1)lim1=lim1=eeeA.定理4设,，，为同一过程中的无穷小量，且,，lim=A.则lim=lim=.A证明limlnlimlnlnlnlimlim=lim=lneeA.定理[4]5,为同一过程中的无穷小量，若，则有ln(1+ln(1+））.证明因为，为同一过程中的无穷小量，，所以有ln(1+ln(1+））又因为，所以ln(1+ln(1+））.定理6,0xUafxgx，且fxgxxa，若有limlnxahxgxl，则limlnlimlnxaxahxfxhxgxl.5证明由引理1知11lnlnxafxgx，故有limlnlimlimlimln111lnln=.xaxaxaxahxhxhxfxgxfxgxl4应用例1计算230sincoslim(1)11xxxxxex的值.解这是00型，但是直接利用洛必达法则计算比较复杂，所以就是用等价无穷小代换将其分母简化，然后再利用洛必达法则计算.由于0x时，xex,22311,3xx所以22000230sincossincoscoscossinlimlimlim(1)113sinlim1xxxxxxxxxxxxxxxxxexxx例2求极限0ln1+arcsin3limsin2tan5xxxxx.解因为当0x时，ln1+,arcsin33,xxxx且00arcsin33limlim31,ln1+xxxxxx所以ln1+arcsin334.xxxxx又因为当0x时，6sin22,xxtan55,xx且00tan555limlim1,sin222xxxxxx所以当0x时，sin2tan5253.xxxxx由定理2可知0ln1+arcsin3limsin2tan5xxxxx04lim3xxx43例3求极限22201coslimsinxxxx.解原极限经整理得222220cossinlim,sinxxxxxx当0x时，22sin.xx所以22222224001sin2cossin4limlim.sinxxxxxxxxxx利用洛必达法则，得到22432000222001sin22sin2cos222cos44limlimlim4121cos48limlim6643xxxxxxxxxxxxxxxxxx例4求630lntan1+21lim.lnsin1cosxxx解当0x时，有7666tan121121,xxx323361sin1cos1cos,28xxxx根据定理6，有66006lntan121lnlimlim1lnsin1cosln8xxxxxx660lnlimlnln8xxx1在替换时，需注意并不是所有的无穷小都可以用其等价的无穷小来代换，在代换时，要遵循以下原则：(1)若要替换的无穷小与其他部分是乘除关系，则根据等价无穷小替换原理，可以毫无顾忌的使用无穷小的等价替换；(2)若要替换的无穷小与其他部分是加减关系，则不能使用等价无穷小代换，有时可用泰勒展示来求解.(3)事实上前面提到的等价无穷小就是该函数用泰勒公式展一次得到的.如sin0xxx,可认为是2sinxxox.5结论本文主要讨论了等价无穷小在求极限中的应用，包括在复合函数求极限中的应用.无穷小量的代换定理的提出扩大了等价无穷小量的代换范围，使之能够更广泛的应用于求函数极限之中.用等价无穷小量代换来计算极限是一种常规的行之有效的方法，用它可以求解某些其他方法难以求解的极限题，并且使运算过程更为简洁.致谢本论文在选题及撰写过程中得到马统一老师的悉心指导,为此表示对马老师深深的感谢!参考文献[1]同济大学应用数学系主编.高等数学(上)五版[M].北京:高等教育出版社，2004.[2]伍华建.在求函数极限过程中使用等价无穷小[J].广西师范大学学报（自然科学版），1999.[3]华东师范大学数学系主编.数学分析(上)三版［M］.北京:高等教育出版社，2004.[4]米翠兰.等价无穷小量在求极限中的应用[J].唐山师专学报.[5]范锦芳.无穷小量使用技巧,工科数学[M].北京高等教育出版社.1993.8[6]李秀敏.无穷小量的等价代换在极限运算中的应用[J].高等数学研究社.2002.[7]吴冬梅.等价无穷小量代换的推广和应用[J].黄冈职业技术学院学报.2004.[8]华中理工大学数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社1992.