等价无穷小求极限

1等价无穷小求极限摘要：极限的计算方法多样灵活,计算巧妙.等价无穷小的替换是求极限的重要方法之一.在求和、差形式的函数极限,1型函数的极限,积分上限函数的极限等方面,等价无穷小的替换具有很好的作用,掌握并充分利用好它的性质,往往会使一些复杂的问题简单化,起到事半功倍的效果.关键词：等价无穷小;函数的极限;级数收敛2EquivalentInfinitesimalinlimitresearchAbstract:Thelimitsofthecalculationmethodsarevariousflexible,clevercalculation.Equivalentinfinitesimalreplacementisoneoftheimportantmethodsforlimit.Insum,poorfunctionlimit,typefunctionlimit,thelimitofintegralupperlimitfunctionandsoon,theequivalentinfinitesimalreplacementwithgoodproperties,graspandmakefulluseofthegoodproperties,tendtomakesomecomplexproblemissimplified,havetwicetheresultwithhalftheeffort.Keywords:Equivalentinfinitesimal,Thelimitofthefunction,Replace,Theseriesconverges.3目录引言....................................................11乘积因子等价无穷小的替换...............................22变上限积分的极限......................................33极限中含加减因子的等价无穷小替换.......................441型不定式极限的替换...................................95级数敛散性的等价无穷小替换............................116用洛必达法则求极限...................................126.1对非不定式极限使用洛必达法则...............................136.2过分依赖洛必达法则的优越性.................................156.3洛必达法则与等无穷小替换的结合.............................`166.4洛必达法则是充分条件而非必要条件............................157小结…………………………………………………………………168参考文献……………………………………………………………179致谢…………………………………………………………………184引言等价无穷小代换是高等数学中求极限的最重要的方法之一，由于其便利快捷，化繁为简,它现在已经成为很多行业进行研究分析的一种重要工具。而且,随着科学技术的迅速发展,等价无穷小已经参与到越来越多的领域。在高等数学中等价无穷小的性质虽然仅仅在“无穷小的比较”中出现过。但是,在判定广义积分、级数的敛散性时，无穷小也表现出了很好的性质，这说明等价无穷小量的性质正在逐步推广。目前,随着技术的进步及迅速发展,社会各个领域中等价无穷小量的作用越来越突出，我们相信,在不久的将来,等价无穷小量将会延伸到更多领域,并且会对我们人类产生更深远的影响。虽然人们对等价无穷小量的研究范围逐渐扩大，研究形式日益广泛，研究内容日益深入，研究成果不断出新，但仍然存在许多问题等待我们新时期的学术爱好者去共同探讨,一起解决，因此，对等价无穷小在求函数极限中的应用及推广的意义和作用还需要我们更加深入的去探讨去学习去研究。理论和实际意义：一、理论意义：（1）等价无穷小是高等数学中最基本的概念之一，同时又是高等数学的重要组成部分，因此它的应用的深入发展对于数学的发展具有及其深远的意义。（2）研究等价无穷小量在求极限中的应用,有助于人们更系统，更全面的认识等价无穷小量在数学计算中的作用。(3)等价无穷小量做代换是计算极限的一种常用、方便、有效的方法,用它可以求到某些用其它方法难以求到的极限问题,达到化繁为简目的。二、实际意义：(1）生产和实验的很多计算过程中的变量都可以用等价无穷小来替换,从而简化计算。（2）等价无穷小可以把繁琐的实际问题化为一种简单的形式，从而引导人们用更简便的方法解决实际问题。（3）用等价无穷小求极限是高等数学中的一个重要工具，它在生活中的应用是理论和实际相联系的强有力的纽带。5等价无穷小求极限理论1乘积因子等价无穷小的替换定理1.1设()()()fxgxhx﹑﹑是某一变化过程中的无穷小量,极限()()lim,lim()()gxhxfxfx都存在且不为零,则当且仅当()gx与()hx为等价无穷小量时,有()()limlim.()()gxhxfxfx证明:当()gx与()hx为等价无穷小量时,即()lim1,()gxhx则()()()()limlimlim()()()()gxgxhxhxfxhxfxfx.反之,若()()limlim(0),()()gxhxMMfxfx则有()()11limlim1()()()()gxhxMhxhxfxMfx.即()gx与()hx为等价无穷小量.例100arctan1limlimsin222xxxxxx.定理1.211()()()()fxfxgxgx﹑﹑﹑是某一变化过程中的无穷小量,1()(),fxfx()gx1()gx,且极限()()lim()hxgxfx存在,则611()()()()limlim()()hxgxhxgxfxfx.证明：1111()()()()()()limlim()()()()hxgxhxgxfxgxfxfxfxgx11()()()()lim()()()gxhxgxfxfxfxgx11()()()()limlimlim()()()gxhxgxfxfxfxgx()()lim()hxgxfx.例2求极限20ln(1)limsinxxxx.解：由于22ln(1),sin,xxxx则20ln(1)limsinxxxx20lim1xxxx.2变上限积分的极限常用的变上限积分的等价无穷小有：2000000~tan~arcsin~arctan~ln(1)~(1)~2xxxxxxtxtdttdttdttdttdtedt302020(1cos)~611~21(1)~ln2xxxtxtdtxdtxadtxa其中0,1aa上述等式可以用洛比塔法则直接证明，证明中我们可以看到被积函数之间是等价无穷小，由此可得将被积函数用等价无穷小代换后的变上限积分仍是等价无穷小，即是:定理3若当0,()0,()xfxfx存在，()0,()0,()~()FxGxFxGx，则()()00()~()fxfxFtdtGxdt.7证明：()()00()()0()()0()000()()()()()limlimlimlim1()()()()()fxfxfxfxxfxofxfxFxdtFxdtFfxfxFfxGfxfxGfxGtdtGxdt由此定理还可以得出如下结论，例如：tantan22300()()2001sin~tan(0)311~()(0,()0)2xxfxfxtdttdtxxtdttdtftxfx例10求220sin03(1)limxtxxoedttdt解原式=26260sin4000340143limlimlim013(sin)4xxxxxxtdtxxtdtx例11求601cos020arctan(1)lim(11)xxxtdttttdt解原式=666020001cos3601ln(1)(1)limlimlim481111(1cos)23682xxxxxdtxxttxxdt3极限中含加减因子的等价无穷小替换设11,,,均为同一变化过程中的无穷小量.定理3.1设11,,且limm,若(1)当1m时,11;(2)当1m时,11.证明：(1)若有8limm1m,1111111111limlimlim.11又因为11lim1101,mm于是有111limlim11111mm,所以11.(2)若有limm1m,1111111111limlimlim.11又因为11lim1101,mm于是有111limlim1111mm1,所以11.推论3.1设1111,,,,且lim1,lim1,,,,acabcdbd为9常数,则当1111limabcd存在时,有1111limlim.ababcdcd证明：因为1111limlim1lim1lim10aaaabbbb11lim11lim1abab所以有1111.aabb同理可证1111.ccdd从而有111111111111limlimlimlim.11aabbababbbcccdddcddd例6求极限2220sin2sin3lim.11xxxx解：因为222200sin222limlim1sin333xxxxxx,由定理3.1得22222200sin2sin323limlim111xxxxxxxx.例7求极限201sincoslim1xxxxe.10解：22001sincossin(1cos)limlim11xxxxxxxxee2001122limlim222xxxxxx定理3.2,为同一变化过程中的无穷小量,且=（）,则.～证明：因为=（）,所以lim0,则limlim1（）=limlim1（）1即～.定理3.2说明了在求无穷小量代数和的极限时,可以将阶数较高的无穷小量舍去,从而能够简化计算.注:两无穷小量代数和与较低阶无穷小量等阶.可将此结果扩展为多个无穷小量,如果有多个无穷小量都是比其中一个无穷小量高阶的无穷小量,则他们的代数和与其中这个无穷小量等阶.推论3.2若0xx时,(),(),()fxgxhx都是无穷小量,且()(()),()(),fxgxgxhx则0()()()()gxhxfxxx.证明：因为()(()),()(),fxgxgxhx0()xx,于是00()()lim0,lim1.()()xxxxfxhxgxgx则000()()()()limlimlim101()()()xxxxxxhxfxhxfxgxgxgx.例8（1）求极限3402arcsinln(1)limcos1tan3xxxxxx