答案A实变函数试卷及答案

1邯郸学院2009-2010学年第一学期2007级数学与应用数学专业本科期末考试实变函数答案及评分标准（A）一、判断正误（每小题2分，共20分）1、√2、√3、√4、×5、√6、√7、×8、×9、×10、×二、填空题(每小题2分，共10分)1、),0(A2、03、R4、充要5、三、单项选择题（每小题2分，共10分）1、C2、B3、A4、A5、D四、计算题（每小题10分，共20分）1、设0302]1,0[,)(PxxPxxxf，，其中0P为Cantor集，计算]10[)(，dmxf。解.设]1,0[,)(3xxxg，因00mP，……………………3分则在]1,0[上)(~)(xgxf，……………………5分]1,0[103]10[43)()()(dxxRdmxgdmxf，……………………10分2、求极限0ln()limcosxnxnexdxn解：设ln()()cosxnxnfxexn，则易知当n时，()0nfx……………2分又因'2ln1ln0tttt，(3t)，所以当3,0nx时，………………4分ln()ln()ln3ln3(1)33xnnxxnnxxnnxnn………………6分从而使得ln3|()|(1)3xnfxxe…………………………………8分但是不等式右边的函数，在0,上是L可积的，故有00lim()lim()0nnnnfxdxfxdx…………………………………10分五、证明题（每小题10分，共40分）1、设()fx是,上的实值连续函数，则对于任意常数,{|()}aExfxa是闭集。证明：,{},limnnnxEExxx则存在中的互异点列使……….4分2,()nnxEfxa………………………………………….6分()()lim()nnfxxfxfxa在点连续，xE…………………………………………………………8分E是闭集.…………………………………………………….10分2、设在E上)()(xfxfn,而..)()(eaxgxfnn成立,,2,1n,则有)()(xfxgn证明:记][nnngfEE,由题意知0nmE由0)(11nnnnmEEm知0)(1nnEm…………2分对任意0,由于]|[|)(]|[|1ffEEfgEnnnn，从而有:])|[|(])|[|()(]|[|1ffEmffEmEmfgmEnnnnn………4分又因为在E上)()(xfxfn,故0])|[|(limffEmnn…………6分所以0])|[|(lim])|[|(lim0ffEmfgEmnnnn………………8分于是:0])|[|(limfgEmnn故在E上有)()(xfxgn………………………10分3、设()fx是E上..ae有限的函数，若对任意0，存在闭子集FE，使()fx在F上连续，且()mEF，证明：()fx是E上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)证明：,nN存在闭集1,,()2nnnFEmEFfx在nF连续………………2分令1nknkFF，则,,,()nnnkxFkxFnkxFfx在F连续……4分又对任意k,[()][()]nnnknkmEFmEFmEF1()2nknkmEF………….6分故()0,()mEFfx在FE连续…………………………..8分3又()0,mEF所以()fx是EF上的可测函数，从而是E上的可测函数…………………..10分4、在有限闭区间],[ba上的单调有限函数)(xf是有界变差函数．证明.在],[ba上任取一组分点bxxxam10，-----------2分从而对任何n，有|)()(||)()(|11afbfxfxfmkkk-----------6分所以,)()(|)(afbffba-----------------------8分故)(xf有界变差.----------------------------10分