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规律探索的基础一些有趣的数列三角形数古希腊科学家把数1，3，6，10，15，21……这些数量的，都可以排成三角形，像这样的数称为三角形数。它有一定的规律性，排列如下，像上面的1、3、6、10、15这些能够表示成三角形的形状的总数量的数，叫做三角形数。正方形数1、4、16┅这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．谢宾斯基（Sierpinski）三角形在下图四个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，着色三角形的个数依次为1，3，9，27.则数列前4项都是3的指数幂，指数为序号减1。通项公式是：An=3的n-1次方斐波那契数列“斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为:(见图)（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。）有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……斐波那契数列在自然界中的出现是如此地频繁，人们深信这不是偶然的。（1）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。（2）细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：3………………………百合和蝴蝶花5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草8………………………翠雀花13………………………金盏草21………………………紫宛34，55，84……………雏菊通项公式写出下面数列的通项1,2,3,4,5,6，。。。。。。。。。。。2,4,6,8,10，12，。。。。。。。。。1,3,5,7,9，。。。。。。。。。。。。3,5,7,9,11，。。。。。。。。-1,1,3,5，。。。。。。。2,4,8,16，。。。。。。。。1,2，4,8,16，。。。。。。。。1,3,7,15，。。。。。。。。5,7,11,19，。。。。。。。。1，-1,1，-1,1，-1，。。。。。。。。1，-2,3，-4,5，-6，。。。。。。。4,7,10,13,16,19，。。。。。。。。1,4,7,10,13,16，。。。。。。。。-4,7，-10，13，-16，。。。。。。。1，0,1,0,1，。。。。。。。。1,3,6,10,15，。。。。。。。。1,2,3,5,8,13,21，。。。以上的数列的通项公式是我们以后探究数列通项公式的基础，同学们要在理解的基础上识记它们。有些公式，也可以从函数的角度去记忆它们，也可以对它们的本质有一个较高的认识。一般有下面的几种函数形式：y=an+by=an2+bn+cy=cany=can+b使用函数的解析式也可以解决一些求通项的问题，我们在后面要讲到。高斯求和公式200年前，德国著名数学家高斯的算术老师提出了下面问题：1+2+3+4+…+100=?据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1+100）+（2+99）+…+(50+51)=101×50=5050高斯的算法实际上解决了数列1,2,3，…，n,…前n项的和的问题。我们可以仿照高斯的方法计算1,2,3，…，n,…的前n项的和：1+2+…+n-1+nn+n-1+…+2+1(n+1)+(n+1)++(n+1)+(n+1)可知1+2+…+n-1+n=高斯后来成为历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”。如果要你应用高斯的方法计算下面的式子的值：101+102+103+…+1000=？