解一元二次方程的方法

解一元二次方程的方法定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程(quadraticequationofonevariable)。一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．里面要有等号，且分母里不含未知数。(4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足（a、b、c为常数，a≠0）补充说明1、该部分的知识为初等数学知识，一般在初三就有学习。(但一般二次函数与反比例函数会涉及到一元二次方程的解法)2、该部分是高考的热点。3、方程的两根与方程中各数有如下关系：X1+X2=-b/a，X1·X2=c/a（也称韦达定理）4、方程两根为x1，x2时，方程为：x^2-(x1+x2)X+x1x2=0(根据韦达定理逆推而得)5、在系数a0的情况下，b^2-4ac0时有2个不相等的实数根，b^2-4ac=0时有两个相等的实数根，b^2-4ac0时无实数根。一般式ax^2+bx+c=0（a、b、c是实数，a≠0)例如：x^2+2x+1=0配方式a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2两根式（交点式）a(x-x1)(x-x2)=0一般解法1.分解因式法（可解部分一元二次方程）因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。如1.解方程：x^2+2x+1=0解：利用完全平方公式因式解得：（x+1﹚^2=0解得：x?=x?=-12.解方程x（x+1）-3（x+1）=0解：利用提公因式法解得：（x-3）（x+1）=0即x-3=0或x+1=0∴x1=3，x2=-13.解方程x^2-4=0解：（x+2）（x-2）=0x+2=0或x-2=0∴x?=-2，x?=2十字相乘法公式：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例：1.ab+b^2+a-b-2=ab+a+b^2-b-2=a(b+1)+(b-2)(b+1)=(b+1)(a+b-2)2.公式法（可解全部一元二次方程）首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b^2-4ac0时x无实数根（初中）2.当Δ=b^2-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x23.当Δ=b^2-4ac0时x有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a来求得方程的根3.配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x^2+2x－3=0解：把常数项移项得：x^2+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4因式分解得：（x+1)^2=4解得：x1=-3,x2=1用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当4.开方法（可解部分一元二次方程）如：x^2-24=1解：x^2=25x=±5∴x?=5x?=-55.均值代换法（可解部分一元二次方程）ax^2+bx+c=0同时除以a，得到x^2+bx/a+c/a=0设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m(m≥0)根据x1*x2=c/a求得m。再求得x1,x2。如：x^2-70x+825=0均值为35，设x1=35+m，x2=35-m(m≥0)x1*x2=825所以m=20所以x?=55，x?=15。一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到）一般式：ax^2+bx+c=0的两个根x?和x?的关系：x1+x2=-b/ax1*x2=c/a如何选择最简单的解法1．看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法）2．看是否可以直接开方解3．使用公式法求解4．最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）。如果要参加竞赛，可按如下顺序：1.因式分解2.韦达定理3.判别式4.公式法5.配方法6.开平方7.求根公式8.表示法例题精讲1、开方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)^2=n(n≥0)的方程，其解为x=m±√n例1．（1）(3x+1)^2=7分析：此方程显然用直接开平方法好做。（1）解：(3x+1)^2=73x+1=±√7∴x1=...,x2=...（2）9x^2-24x+16=11方程左边是完全平方式(3x-4)^2，右边=110，所以此方程也可用直接开平方法解解：9x^2-24x+16=11(3x-4)^2=113x-4=±√11∴x1=...,x2=...2．配方法：例1用配方法解方程3x^2-4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2将二次项系数化为1：x^2-4/3x=2/3方程两边都加上一次项系数一半的平方：x^2-4/3x+(-2/3)^2=2/3+(-2/3)^2配方：(x-2/3)^2=10/9直接开平方得：x-2/3=±√(10)/3∴x?=,x?=.∴原方程的解为x?=,x?=.3．公式法：把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式，然后把各项系数a,b,c的值代入求根公式就可得到方程的根。当Δ=b^2-4ac0时，求根公式为x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b^2-4ac)]/2a（两个不相等的实数根）当Δ=b^2-4ac=0时，求根公式为x1=x2=-b/2a（两个相等的实数根）当Δ=b^2-4ac0时，求根公式为x1=[-b+√(4ac-b^2)i]/2a,x2=[-b-√(4ac-b^2)i]/2a（两个虚数根）（初中理解为无实数根）例3．用公式法解方程2x^2-8x=-5解：将方程化为一般形式：2x^2-8x+5=0∴a=2,b=-8，c=5b^2-4ac=(-8)^2-4×2×5=64-40=240∴x=(4±√6)/2∴原方程的解为x?=(4+√6)/2,x?=(4-√6)/2.4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。例4．用因式分解法解下列方程：(1)(x+3)(x-6)=-8解：化简整理得x^2-3x-10=0(方程左边为二次三项式，右边为零)(x-5)(x+2)=0(方程左边分解因式)∴x-5=0或x+2=0(转化成两个一元一次方程)∴x?=5,x?=-2是原方程的解。(2)2x^2+3x=0解：x(2x+3)=0(用提公因式法将方程左边分解因式)∴x=0或2x+3=0(转化成两个一元一次方程)∴x?=0，x?=-3/2是原方程的解。注意：容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程通常有两个解。(3)6x^2+5x-50=0(选学）解：(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)∴2x-5=0或3x+10=0∴x?=5/2,x?=-10/3是原方程的解。(4)x^2-4x+4=0解：(x+2)(x-2)=0∴x?=-2,x?=2是原方程的解。小结一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。