解三角形综合复习包含练习题(答案)

重庆学乐教育vip一对二1乐学笃行感恩重庆学乐教育vip一对二教学方案课时数：2小时学生：主讲人：沈老师解三角形教学目的：教学重点/难点：教学内容：正弦定理和余弦定理基础梳理1．正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形为：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.3．S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.考向一利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c.解由正弦定理得asinA＝bsinB，3sinA＝2sin45°，∴sinA＝32.∵a＞b，∴A＝60°或A＝120°.重庆学乐教育vip一对二2乐学笃行感恩当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝bsinCsinB＝6＋22；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝bsinCsinB＝6－22.考向二利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．解(1)由余弦定理知：cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.将上式代入cosBcosC＝－b2a＋c得：a2＋c2－b22ac·2aba2＋b2－c2＝－b2a＋c，整理得：a2＋c2－b2＝－ac.∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝－ac2ac＝－12.∵B为三角形的内角，∴B＝23π.(2)将b＝13，a＋c＝4，B＝23π代入b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB，∴13＝16－2ac1－12，∴ac＝3.∴S△ABC＝12acsinB＝334.重庆学乐教育vip一对二3乐学笃行感恩【训练2】(2011·桂林模拟)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2A2＋cosA＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．解(1)由2cos2A2＋cosA＝0，得1＋cosA＋cosA＝0，即cosA＝－12，∵0＜A＜π，∴A＝2π3.(2)由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA，A＝2π3，则a2＝(b＋c)2－bc，又a＝23，b＋c＝4，有12＝42－bc，则bc＝4，故S△ABC＝12bcsinA＝3.【训练3】在△ABC中，若acosA＝bcosB＝ccosC；则△ABC是()．A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形解析由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC外接圆半径)．∴sinAcosA＝sinBcosB＝sinCcosC.即tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C.考向三正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝π3.重庆学乐教育vip一对二4乐学笃行感恩(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．解(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4.又因为△ABC的面积等于3，所以12absinC＝3，得ab＝4，联立方程组a2＋b2－ab＝4，ab＝4，解得a＝2，b＝2.(2)由题意，得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA.当cosA＝0，即A＝π2时，B＝π6，a＝433，b＝233；当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理，得b＝2a.联立方程组a2＋b2－ab＝4，b＝2a，解得a＝233，b＝433.所以△ABC的面积S＝12absinC＝233.【训练3】(2011·北京西城一模)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB＝45，b＝2.(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．解(1)因为cosB＝45，所以sinB＝35.重庆学乐教育vip一对二5乐学笃行感恩由正弦定理asinA＝bsinB，可得asin30°＝103，所以a＝53.(2)因为△ABC的面积S＝12ac·sinB，sinB＝35，所以310ac＝3，ac＝10.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，得4＝a2＋c2－85ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20.所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40.所以a＋c＝210.练习题：1.已知△ABC中，30A，105C，8b，则等于（2）A4B42C43D452.△ABC中，45B，60C，1c，则最短边的边长等于（1）A63B62C12D323.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为(2)A90°B120°C135°D150°4.△ABC中，coscoscosabcABC，则△ABC一定是（4）A直角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形5.△ABC中，60B，2bac，则△ABC一定是（4）A锐角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形重庆学乐教育vip一对二6乐学笃行感恩6.△ABC中，∠A=60°,a=6,b=4,那么满足条件的△ABC(3)A有一个解B有两个解C无解D不能确定7.△ABC中，8b，83c，163ABCS，则A等于（3）A30B60C30或150D60或1208.△ABC中，若60A，3a，则sinsinsinabcABC等于（1）A2B12C3D329.△ABC中，:1:2AB，C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分，则cosA（3）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例A13B12C34D010.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（1）画图解题A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D由增加的长度决定11在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°则塔高为（1）3400米33400米C.2003米米12海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是(3)A.10海里B.5海里C.56海里D.53海里重庆学乐教育vip一对二7乐学笃行感恩13.在△ABC中，如果sin:sin:sin2:3:4ABC，那么cosC等于14。14.在△ABC中，已知503b，150c，30B，则边长a1003或503。15.在钝角△ABC中，已知1a，2b，则最大边c的取值范围是53c。16.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为403。17（本题10分）在△ABC中，已知边c=10,又知cos4cos3AbBa，求边a、b的长。解：由coscosAbBa，sinBsinAba,可得cossincossinABBA，变形为sinAcosA=sinBcosB∴sin2A=sin2B,又∵a≠b,∴2A=π－2B,∴A+B=2.∴△ABC为直角三角形.由a2+b2=102和43ba，解得a=6,b=8。18（本题12分）在△ABC中，已知2abc，2sinsinsinABC，试判断△ABC的形状。解：由正弦定理2sinsinsinabcRABC得：sin2aAR，sin2bBR，sin2cCR。所以由2sinsinsinABC可得：2()222abcRRR，即：2abc。又已知2abc，所以224()abc，所以24()bcbc，即2()0bc，因而bc。故由2abc得：22abbb，ab。所以abc，△ABC为等边三角形。19（本题12分）在锐角三角形中，边a、b是方程x2－23x+2=0的两根，角A、B满足：2sin(A+B)－3=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积。重庆学乐教育vip一对二8乐学笃行感恩解：由2sin(A+B)－3=0，得sin(A+B)=32,∵△ABC为锐角三角形∴A+B=120°,C=60°,又∵a、b是方程x2－23x+2=0的两根，∴a+b=23,∴c=6,1sin2ABCSabC=12×2×32=32。a·b=2,∴c2=a2+b2－2a·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6,∴c=6,1sin2ABCSabC=12×2×32=32四、课堂小结（未明白的着重填写）1.2.课后作业：家长意见：目标是灯照亮前进的道路，目标是油提供奋斗的动力。唯有坚持目标的人，才能取得成功。家长签字：_____________2013.4.30