简谐振动(I)20160227

1简谐振动(I)20160227一、简谐运动周期公式的推导考虑弹簧振子在平衡位置附近的简谐运动，如图2所示。它的运动及受力情况和图3所示的情况非常相似。在图3中，O点是弹性绳（在这里我们设弹性绳的弹力是符合胡克定律的）的原长位置，此点正好位于光滑水平面上。把它在O点的这一端系上一个小球，然后拉至A位置由静止放手，小球就会在弹性绳的作用下在水平面上的A、A’间作简谐运动。如果我们不是由静止释放小球，而是给小球一个垂直于绳的恰当的初速度，使得小球恰好能在水平面内以O点为圆心，以OA长度为半径做匀速圆周运动。那么它在OA方向的投影运动（即此方向的分运动）与图3中的简谐运动完全相同。证明如下：首先，两个运动的初初速度均为零（图4中在OA方向上的分速度为零）。其次，在对应位置上的受力情况相同。由上面的两个条件可知这两个运动是完全相同的。在图4中小球绕O点转一圈，对应的投影运动（简谐运动）恰好完成一个周期，这两个时间是相等的。因此我们可以通过求圆周运动周期的方法来求简谐运动的周期。如图5作出图4的俯视图，并建以O为坐标原点、OA方向为x轴正方向建直角坐标系。则由匀速圆周运动的周期公式可知：2T……………………（1）其中是匀速圆周运动的角速度。小球圆周运动的向心力由弹性绳的弹力来提供，由牛顿第二定律可知：rmkr2……………………（2）式中的r是小球圆周运动的半径，也是弹性绳的形变量；k是弹性绳的劲度系数。由（1）（2）式可得：kmT2二、典例分析1、在关于简谐运动的下列说法中，正确的是()A、质点受到回复力（恒指向平衡位置的力）的作用，则该质点一定作简谐运动；B、一小球在半径很大的光滑凹球面上来回滑动，如果它滑过的弧线相对凹球面的半径很短，则小球作简谐运动；C、物体在某一位置附近来回往复的运动是简谐运动；D、若一物理量Q随时间的变化满足微分方程0dd222QtQ，则此物理量Q作简谐运动（ω是由振动系统本身的性质决定的常量）；E、篮球运动员运球过程中，篮球作简谐运动。2kmm0yOytA/2-Ay1y22、如图12-4所示的弹簧振子，当振动到最大位移处恰有一质量为m0的烂泥小球从正上方落到质量为m的物块上，并与物块粘在一起运动。则下述结论中正确的是（）A、振幅变小，周期变小，总能量减少B、振幅变小，周期不变；总能量增加C、振幅不变，周期变大；总能量不变D、振幅不变，周期变小；总能量减少3、一质点作简谐运动，周期为T，当它由平衡位置向y轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处所需时间为（）A、4TB、12TC、6TD、8T4、一质点作简谐运动，其振动方程为)2πcos(tAy，则该物体在0t时刻与8Tt（T为振动周期）时刻的动能之比为（）A、1:4B、1:2C、1:1D、2:15、弹簧振子在光滑水平面上作简谐运动。在半个周期内，速度的平均值、速率的平均值和弹性力所作的功分别为（）A、0，0，0；B、0，π2A，0；C、0，πA，2kA；D、0，π2A，221kA6、一质点同时参与了两个方向同频率的简谐运动，其振动方程分别为)3π4cos(10521ty（SI）)6π4sin(10322ty（SI）则其合振动方程为（）A、)3π4cos(1082tyB、)6π4cos(1082tyC、)3π4cos(1022tyD、)6π4cos(1022ty7、如图所示为两个简谐运动的y—t曲线，将这两个简谐运动叠加，则合成的余弦振动的初相位为（）A、0B、π23C、πD、π218、两木块A、B质量分别为m和M，用劲度系数为k的轻弹簧连在一起，放在水平地面上，如图所示，用外力将木块A压下一段距离静止，释放后做简谐运动，在A振动过程中，木块B刚好始终未离开地面，求：(1)木块A的最大加速度(2)木块B对地面的最大压力(3)要使B离开地面外力F至少多大？BA39、如图所示，一轻弹簧上、下两端各连接两物块A、B，A的质量为m，B的质量为2m。开始系统静止在水平面上，用一恒力F向上拉木块A，恰能提起木块B，求：恒力F的大小是多少？10、一皮带传送装置如图所示，皮带的速度v足够大，一根质量不计、劲度系数为k的轻质弹簧一端固定，另一端连接一个质量为m的滑块，已知滑块与皮带之间的动摩擦因数为μ,当滑块放在皮带上时，弹簧的轴线恰好水平．若滑块放到皮带的瞬间，滑块的速度为零，且弹簧正好处于自由长度，则当弹簧第一次伸到最长时，滑块与皮带间产生的热量为多少?(弹簧振子的周期为kmT2)11、如图所示，弹簧上端固定在O点，下端挂一个木匣A，木匣A顶部悬挂一木块B，A和B的质量均为m=1kg，B距木匣底面高度h=16cm，当它们都静止时，弹簧长度为L。某时刻悬挂木块B的细线突然断开，在木匣上升到速度刚为零时，B和A的底面相碰，碰撞后结为一体，当运动到弹簧长度又为L时，速度变为v=1m/s。求：(1)碰撞中动能的损失ΔEk(2)弹簧的颈度系数k(3)原来静止时的弹性势能Ep答案：1、BD2、C3、C4、D5、B6、C7、C8、(1)a=M+mmg(2)FN=2(M+m)g(3)F=(M+m)g9、F=32mg10、Q热=(vπ√mk−2μmgk)μmg11、(1)ΔEk=0.6J(2)k=500N/m(3)Ep=0.4J三、简谐运动能力提高题1、如图所示，用弹性系数为k的轻质弹簧连着一个质量为m的小球，分别置于水平、竖直、倾角为θ的光滑斜面上。证明：小球在弹簧方向的振动为简谐运动，并求其周期T。2、如图5所示，将一粗细均匀、两边开口的U型管固定，其中装有一定量的水银，汞柱总长为L。当水银受到一个初始的扰动后，开始在管中振动。忽略管壁对汞的阻力，试证明汞柱做简谐运动，并求其周期。3、如图9所示，两根相同的弹性系数分别为k1和k2的轻质弹簧，连接一个质量为m的滑块，可以在光滑的水平面上滑动。试求这个系统的振动周期T。kmmkOAB44、当情形变成图10时，会不会和图9一样呢？如果一样请说明理由。如果不一样请算出周期。5、如果两个弹簧通过一个动滑轮（不计质量）再与质量为m的钩码相连，如图11所示，钩码在竖直方向上的振动周期又是多少？6、如图7所示，三根长度均为L=2.0m，质量均匀直杆，构成一正三角形框架ABC，C点悬挂在一光滑水平轴上，整个框架可绕转轴转动。杆AB是一导轨，一电动松鼠可在导轨上运动。现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试讨论松鼠的运动是一种什么样的运动，并作描述。7、如果两弹簧和钩码通过轻杆和转轴，连成了图12所示的系统，已知k1、k2、m、a、b，再求钩码竖直方向的振动周期T。8、如图13所示，在一辆静止的小车内用长为L的轻绳静止悬挂着一个小钢球，当小车突然获得水平方向的大小为a的加速度后（a＜g），试描述小球相对小车的运动。9、某秋千两边绳子不等长，且悬点不等高，相关数据如图14所示，且有a2+b2=+，试求它的周期（认为人的体积足够小）。10、如图所示，有一个由两个倾角均为θ的光滑斜面和一段光滑水平面组成的轨道，水平部分CD长为L，现有一根柔软的质量为m的铁链AB长也为L,一半长度放在左边光滑的斜面上由静止释放，问铁链是否做简谐振动？若为简谐振动周期为多少?21L22L511、如图所示的摆球，由于受到横向风力的作用，偏过θ角。若绳长为L，摆球质量为m，且风力稳定，当摆球在纸平面内平衡位置附近振动时，其周期为（）、2π√g、2π√θg、2π√θg、2π√（θ）g12、如图所示，用一根细线，长为L，将一个密度ρ=0.8×103kg/m3的小球拴在盛水容器的底部。若使小球稍偏离平衡位置而振动，求它的周期是在空气中周期的几倍。13、如图3所示，在弹性系数为k的轻质弹簧下面悬挂一个质量为M的盘，盘不动时，一个质量为m的质点从高h处自由下落，落到盘中时与盘发生完全非弹性碰撞。此后，盘（和质点）的振动将在竖直方向振动。试求——（1）这个振动的振幅；（2）以质点碰撞盘为计时起点、向下为位移正方向，求谐振动方程。答案：1、证明略T=2π2、是简谐运动，表达式F=−2mgx周期T=2π√2g3、T=2π4、T=2π5、T=π6、简谐运动f=-xT=π√√32g≈2.6s7、T=2π8、小球以绳偏离竖直方向θ=arctg的角度为平衡位置做最大摆角为θ的单摆运动，如果θ≤5°，则小球的摆动周期为T=2π9、T=2π10、T=2π√gθ11、B12、2倍13、（1）A=k)Mm(ghm2)kmg22（；（2）x=k)Mm(ghm2)kmg22（cos〔Mmkt+arctgg)Mm(kh2〕km2121kk)kk(m21kkm2121kk)kk(mL3mg2mkkbkbka2122212ga22agLagLL216