简述三大几何难题

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三大几何难题古希腊是世界数学史上浓墨重彩的一笔,希腊数学的成就是辉煌的,它为人类创造了巨大的精神财富。其中,几何是希腊数学研究的重心,柏拉图在他的柏拉图学院的大门上就写着“不懂几何的人,勿入此门”。历史上第一个公理化的演绎体系《几何原本》阐述的也基本上为几何内容。古希腊的几何发展得如此繁荣,但有一个问题一直没有得到解决,那就是著名的尺规作图三大难题。它们分别是化圆为方、三等分任意角以及倍立方问题。这三个问题首先是“巧辨学派”提出并且研究的,但看上去很简单的三个问题,却困扰了数学家们两千多年之久。这些问题的难处,是作图只能用直尺和圆规这两种工具,其中直尺是指只能画直线,而没有刻度的尺。在欧几里得的《几何原本》中对作图作了规定,只有圆和直线才被承认是可几何作图的,因此在这本书的巨大影响下,尺规作图便成为希腊几何学的金科玉律。并且,古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用,而忽视规矩的实用价值。因此,在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制,在这里,就是要在有限的次数中解决这三个问题。1.化圆为方圆和正方形都是常见的几何图形,人们自然会联想到可否作一个正方形和已知圆等积,这就是化圆为方问题。2.三等分任意角用尺规二等分一个角很容易就可以作出来,那么三等分角呢?三等分180,90角也很容易,但是60,45等这些一般角可以用尺规作出来吗?3.倍立方关于倍立方问题是起源于一个祭祀问题,第罗斯岛上流行着一种可怕的传染病,一时人心惶惶,不可终日.人们来到阿波罗神前,请求阿波罗神像的指示.阿波罗神给了祈求人这样一个指示:“神殿前有一个正方体祭坛,如果能不改变它的形状而把它的体积增加1倍,那么就能消灭传染病.”人们连夜赶造了一个长、宽、高都比正方体祭坛大一倍的祭坛,可是,那传染病传播得更加厉害了.人们又来到阿波罗神像前祈求.神说:“我要你们增加一倍的是祭坛的体积,你们把长、宽、高都增加1倍,祭坛的体积不是要比原来体积大7倍了吗?”人们绞尽脑汁想找出一个答案,可是始终没有人能解答这个难题.由三大问题的起源,可以看出,化圆为方和三等分角是人们在已有知识的基础上,向更深层次,更一般的方向去思考、探索,这也是希腊数学的理论性的演绎推理与抽象性的表现。而倍立方则是起源于建筑的需要,这也反应了数学的发展是离不开现实社会的推动的。三个几何难题提出后,有很多人都为之做了不懈的努力。可以说,但凡是数学史上称得上是数学家的人,都研究过这个问题。由三大难题引出的各种结论与发现也数不胜数,例如割圆曲线、阿基米德螺线等。但这些解法并没有完全遵从尺规作图的要求,因此也不算解决了三大难题。但是由19世纪所证出的三大几何难题的不可解,可以发现,只有冲破尺规的限制才能解决问题。正如很多事情,我们觉得无论如何也找不到解决的办法,就是因为有太多的枷锁罩在我们身上,只有打破这些桎梏,才会豁然开朗,找到一片新天地。三大几何问题的真正解决是在19世纪解析几何创立之后,人们知道了直线与圆分别是二元一次方程和二元二次方程的轨迹,交点则是方程组的解,因此一个几何量是否能用尺规作出,则是它能否由已知量经过有限次加、减、乘、除、开平方运算得到。那么三大难题就可以转换成代数的语言来表示:1化圆为方设圆的半径为一个单位,要作一面积等于单位圆的正方形,设这个正方形连长为x,则x2=π.集能否用尺规作出一条长为π的线段?2三等分角将三等分角的问题转化为方程的根能否用尺规作出.3倍立方设给定的立方体的边为单位长,设边长为x的立方体的体积为2,则x满足:x3=2.即数x=32是否能用直尺和圆规作出?1873年,法国数学家闻脱兹尔在研究阿贝尔定律化简时,首先证明了三等分角和倍立方是不能用尺规作图解决的;接着,1882年,德国数学家林德曼证明化圆为方问题也是不能用尺规作图解决的;1895年,德国数学家克莱因总结了前人的研究,给出三大问题不可能用尺规作图的简明证明,三大几何难题这才算彻底解决了。尺规作图这是一个纯几何问题,但最终却是用代数的方法来解决的,这正是数形结合强有力的一个例子。三大问题的解决,其实质是人们对数与形及其变换的认识问题。到19世纪,数与形这两个数学的重要分支才算真正走到一起,并且密不可分起来。现代数学问题中,有很多也是像尺规作图一样,看上去是一个几何问题,但其本质却是一个代数问题,只有抓住其本质,才能拂去眼前的重重迷雾,找出解决问题的方法。三大难题的解决,也表示出当一个问题无论如何也找不到解决的方法,那我们就不必在一条死路上徘徊不定,而要大胆地探索,换个角度去思考问题,说不定就可以柳暗花明又一村。在三大几何问题的探索过程中,有数不计数的数学家们前赴后继地为之努力,甚至为此耗费了一生的光阴。在其中,则有不同的表现。有的人坚信着问题一定会有解决的方法,他们认为只是还没有找到这个方法而已。有的人则在解决问题的过程中灵活变通,巧妙地增加了一些条件,以此来帮助解答。例如阿基米德在直尺上注明了两个点,解决了三等分角问题;柏拉图用了两块三角板解决了倍立方问题……还有的数学家在此基础上,探索出了一些新的数学问题与理论,例如柏拉图的学生门奈赫莫斯为了解决倍立方问题发现了圆锥曲线;在求解三等分任意角的过程中,希腊数学家相继发展了高等几何。其中有尼科梅德斯的蚌线,希皮亚斯的割圆曲线,还有阿基米德的螺线等等,这些曲线都是从运动的观点来加以认识的。其中割圆曲线发明最早,影响也最大。但还有的人,时至今日,三大几何问题可以说是已彻底解决,他们不看这些证明,想独步古今中外,压倒所有前人的工作。他们宣称自己已经解决了三大问题中的某一个,但其实他们并不了解问题不可解的道理,并不是所有的问题都可以解决的,困难和不可能之间也并不是等同的。在事实真理面前,不能为了自己的私利,忽视真相,盲目地探索研究,结果只是做无用功,白白虚度了光阴。更全面、更深刻地了解数学,总结经验教训,探索发展规律,这是我们学习数学史的目的,也能帮助我们更好地研究数学。古希腊的三大几何作图难题,是数学史上璀璨的一笔,在整个数学史上很难找到这三个问题一样具有经久不衰的魅力。其魅力不仅仅是体现在其问题本身,更多的是数学家们的不懈努力,希腊人的巧思,阿拉伯人的学识,西方文艺复兴时期大师们的睿智以及最终19世纪的完美解答,正是有他们一代一代的持之以恒,正是有前浪推后浪的探索研究,才会有绚丽的数学史,才会有数学的蓬勃发展。

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