解定义型函数问题的策略

高一数学竞赛讲义授课时间:2004年月日(星期)光山县第二高级中学第1页[共5页]解定义型函数问题的策略定义型函数，是指给出阅读材料，设计一个陌生的数学情景，定义一个新函数，并给出新函数所满足的条件或具备的性质；或者给出已知函数，再定义一个新概念（如不动点），把数学知识与方法迁移到这段阅读分析材料，捕捉相关信息，通过归纳、探索，发现解题方法，然后解决问题。由于这类题立意新，构思巧，既考查学生的阅读理解能力，数学语言转化能力，又考查学生分析问题和解决问题的能力，以及探究能力和创新能力，因此，经常出现在数学竞赛试题中。下面例谈该类题型的解题策略。1、联想背景有些题目给出新函数是以熟知的初等函数如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等为背景定义的，可以通过阅读材料，分析有关信息，联想背景函数及其性质，进行类比，捕捉解题灵感，然后解决问题。例1、若()fx为定义在(0,)上的增函数，且对一切0x均有()()()xffxfyy（1）求(1)f的值；（2）若(6)1f，解不等式1(3)()2fxfx分析：不难发现，()fx是以对数函数6logyx为背景定义的，类比函数6logyx的性质，问题就容易解决。解：（1）令0xy，则有(1)0f（2）由()()()xffxfyy，(6)1f得1(3)()[(3)]22(6)fxffxxfx[(3)](6)(6)fxxff即23()(6)6xxff因为()fx在(0,)上是增函数，所以2030366xxxx解得：331702x2、巧妙赋值如果题目所定义的新函数满足的条件是函数方程，可采用赋值法，即令x，y为特殊值，或为某一范围内的值，求得特殊函数值，或函数解析式，再结合掌握的数学知识与方程法来解决问题。例2、已知函数()ft对任意实数x，y都有()()()3(2)3fxyfxfyxyxy，(1)1f。高一数学竞赛讲义授课时间:2004年月日(星期)光山县第二高级中学第2页[共5页]（1）若tN，试求()ft的表达式；（2）满足条件()ftt的所有整数能否构成等差数列？若能构成等差数列求出此数列；若不能构成等差数列，请说明理由。（3）若tN，且4t时，2()(41)3ftmtmtm恒成立，求出m的最大值分析：在条件所给的函数方程中，令1y，就有2(1)()394fxfxxx，利用11()[(1)()](1)txftfxfxf可求得()ft；令0xy得(0)3f，再令tZ，则tN，由2()()()633fttftftt可得()ft在tZ时的解析式，问题也就容易解决了。解：（1）因为()()()3(2)3fxyfxfyxyxy，令1y，得2(1)()394fxfxxx，当tN时，11()[(1)()](1)txftfxfxf=3233tt（2）令0xy，得(0)(0)(0)03fff，所有(0)3f当tZ时，tN，由2()()()633fttftftt结合（1）得：232232()()66[()3()3]6633ftfttttttt，所以32()33,fttttZ由()ftt得，3233ttt，即2(1)(3)0tt即11t，21t，33t，满足1322ttt故1t，2t，3t构成等差数列：1，-1，-3或-3，-1，1（3）当tN时，32()33fttt，由2()(41)3ftmtmtm恒成立知32233(43)tttmtt，即(1)(1)(3)(1)(3)tttmtt因为4t时，所以(1)(3)0tt，高一数学竞赛讲义授课时间:2004年月日(星期)光山县第二高级中学第3页[共5页]从而，1tm恒成立，故3m，即m的最大值为3。3、紧扣定义对于题目定义的新函数，通过仔细阅读，分析定义以及新函数所满足的条件，围绕定义与条件来确定解题的方向，然后准确作答。例3、对于函数()()yfxxD若同时满足下列条件：(Ⅰ)()fx在定义域内单调递增或单调递减；(Ⅱ)存在区间[,]abD，使()fx在[,]ab上的值域为[,]ab，那么()()yfxxD叫闭函数。（1）求闭函数3yx符合条件(Ⅱ)的区间[,]ab；（2）判断函数()2lgfxxx是否为闭函数并说明理由；（3）若2ykx是闭函数，求实数k的取值范围。解：（1）易知3yx为[,]ab上的减函数，所以，33baab注意到ab，可得1a，1b，所求区间为：[-1，1]；（2）取11x，210x，则12()219()fxfx，故()fx不是(0,)上的减函数，取1110x，21100x，则126101()()510fxfx，故()fx不是(0,)上的增函数，所以()fx不满足条件(Ⅰ)，不是闭函数；（3）设函数2ykx符合条件(Ⅱ)的区间[,]ab，则22akabkb，即,ab是方程2xkx的两根，因此命题等价于关于x的方程：22(21)20xkxk在满足2x且xk的条件下有两个不等的实根，高一数学竞赛讲义授课时间:2004年月日(星期)光山县第二高级中学第4页[共5页]①当2k时，则22222122(21)4(2)022(21)20kkkkk解得：94k，所以924k②当2k时，则2222212(21)4(2)0(21)20kkkkkkkk解得：924k，不合条件2k综上所述，所以实数k的取值范围为：9(,2]44、构造函数有些定义型函数可看成是由两个已知函数构造而成。例4、对于函数()fx，若存在0xR，使00()fxx成立，则称0x为()fx的不动点。如果函数2()1(0)fxaxbxa有两个相异的不动点1x和2x（1）若1212xx，且函数()fx的图象关于直线xm对称，求证：112m；（2）若12x且122xx，求b的取值范围解：（1）设函数2()()(1)1gxfxxaxbx，且0a因为1212xx，所以12(1)(1)0xx即1212()1xxxx，于是，1212121211111111()()()[()1]2222222bbxmxxxxxxxxaaa又121xxx，于是，1212121211111()()122222mxxxxxxxx故112m；高一数学竞赛讲义授课时间:2004年月日(星期)光山县第二高级中学第5页[共5页]（2）由方程2()()(1)1gxfxxaxbx可知1210xxa，即1210xxx和同号,①若102x，则212xx-，于是，2122xx，所以，(2)0g，即4210ab（Ⅰ）又22212(1)4()4bxxaa，所以，221(1)1ab（Ⅱ）联立（Ⅰ）（Ⅱ）解得14b②若120x，则212xx-，于是，2122xx，所以，(2)0g，即4230ab（Ⅲ）联立（Ⅱ）（Ⅲ）解得74b综上所得，b的取值范围为：17(,)(,)44