解指数函数和对数函数综合题的方法和策略

1解指数函数和对数函数综合题的方法和策略一、定义域问题和值域问题：ⅠⅠ））定定义义域域和和值值域域例例11已已知知函函数数21()log(1)4afxmxmx（（11））定定义义域域是是RR，，求求m的的取取值值范范围围..（（22））值值域域是是RR，，求求m的的取取值值范范围围。。分分析析：：在在已已知知对数函数的定定义义域域是是RR与与值值域域是是RR，，求求其其中中参参数数的的取取值值范范围围时时，，要要注注意意它它们们是是有有明明显显区区别别的的。。解解：：（（11））因因为为函函数数21()log(1)4afxmxmx的的定定义义域域是是RR，，故故而而对对任任意意xR有有21(1)04mxmx恒恒成成立立。。01、、0m时时，，左左边边==104恒恒成成立立；；02、、0m时时，，由由二二次次函函数数的的性性质质可可得得：：20(1)0353522mmmm（（22））因因为为函函数数21()log(1)4afxmxmx的的值值域域是是RR，，故故而而有有235(1)02mmm3+5或m222））定定义义域域和和有有意意义义例例33已已知知函函数数()124xxfxm((11))若若此此函函数数在在((--∞∞,,11))上上有有意意义义，，求求m的的取取值值范范围围..((22))若若此此函函数数的的定定义义域域为为((--∞∞,,11))，，求求m的的取取值值范范围围..分分析析：：注注意意定定义义域域和和有有意意义义是是有有区区别别的的。。区别：“有意义问题”正好转化成“恒成立问题”来处理，而“定义域问题”刚好转化成“取遍所有问题”来解决（这里转化成了解集问题，即取遍解集内所有的数值）((11))因因为为函函数数()124xxfxm在在((--∞∞,,11))上上有有意意义义，，即即11()[(2)124xfxmmm在在((--∞∞,,11))上上有有意意义义，，所所以以有有：：01、、0m时时，，()124xxfxm在在((--∞∞,,11))上上有有意意义义；；202、、0m时时，，由由二二次次函函数数的的性性质质可可得得：：1220(1)0mmf且或或0140mm解解得得：：14m综综上上所所述述：：此此函函数数在在((--∞∞,,11))上上有有意意义义，，m的的取取值值范范围围为为0m或或14m。。((22))若若函函数数()124xxfxm的的定定义义域域为为((--∞∞,,11))，，则则1240xxm在在(,1)x内内恒恒成成立立。。从从而而有有212111()()4224xxxm因因为为(,1)x时时，，11(,)22x，，所所以以21113()(,)2244x，，从从而而m的的取取值值范范围围是是34m。。二、单调性问题对于复合函数的单调性问题，要分两步进行：第一先考虑定定义义域域；；第第二二再再考考虑虑单调性，在这一步中，要注意复合函数的单调性的判定法则（同向为增，异向为减。简称“同增异减”）。例3、求函数212()log(32)fxxx单调区间。分析：先考虑定定义义域域，，由由23201xxx或x2，即函数()fx的定定义义域域为为(,1)(2,)x；；又又由由223132()24xxx在3(,]2上上递递减，3[,)2上上递递在增，且1012。略解：由分析可得()fx在(,1)上上递递增，(2,)上上递递减。三、对称性问题和奇偶性问题：（1）若函数()fx在其定义域上满足()()faxfbx，则函数()fx的图象关于直线2abx对称；（2）奇偶性问题的判定方法：1、先特殊判定，后定义证明；2、是对数函数的，先考虑真数，后证明结论。例4、已知函数11()log21axfxx(0,1)aa，讨论()fx的奇偶性。分析一：由题意易知函数()fx的定义域为(1,1)x，当12x时，1()log32afx，当12x时，1()log32afx，据此可判定()fx的奇偶性。分析二：由11111xxxx，得11111xxxx，据此也可判定()fx的奇偶性。解：由题意易得函数()fx的定义域为(1,1)x，3且1111111()()logloglog()02121211aaaxxxxfxfxxxxx，即()()fxfx，所以函数()fx是奇函数。例5、设xf是定义在R上的奇函数，且满足(3)(5)fxfx，若(0,4)x时，()2xfx，求xf在(8,4)上的解析式。分析：由xf定义在R上且满足(3)(5)fxfx可知：函数()fx的图象关于直线4x对称；又(0,4)x时，()2xfx，所以(4,8)x时，8()2xfx。设(8,4)x，则(4,8)x，此时8()2xfx。又xf是定义在R上的奇函数，所以8()2xfx，即xf在(8,4)上的解析式为8()2xfx，(8,4)x。例6、设xf是定义在[-1，1]上的偶函数，xg与xf的图象关于直线01x对称。且当3,2x时，32log[2242]gxaxxa为实数，求函数xf的表达式；解：注意到xg是定义在区间3,2上的函数，因此，根据对称性，我们只能求出xf在区间0,1上的解析式，xf在区间1,0上的解析式，则可以根据函数的奇偶性去求。当01x时，322x，由于xg与xf的图象关于直线01x对称，所以，33222log[222422]log(42)fxgxaxxxax当10x时，01x，由xf为偶函数，可知：3322log[42]log(42)fxfxxaxxax所以，3232log(42)10log(42)01xaxxfxxaxx四、周期性问题在函数xf的定义域内，存在非零常数T，使得()fxTfx，则函数xf叫做周期函数，T叫做函数xf的一个周期。推广：若T是函数xf的一个周期，则()()fxnTfxnZ例7、已知奇函数xf满足(2)()fxfx，当(0,1)x时，2xfx，则则12(log5)______f。。4分分析析：：设设(1,0)x，则(0,1)x，由题意知2xfx，因因为为xf是奇函数，所以2xfx，(1,0)x。设设(3,2)x，则2(1,0)x，从而222xfx。又函数xf满足(2)()fxfx，所以22xfx，(3,2)x由由于于12log5(3,2)，，所所以以1225log52log4125(log5)224f。。五、换元法解综合题例8、设设对对所所有有实实数数xx，，不不等等式式2222224(1)2(1)log2loglog014aaaxxaaa恒成立，求求aa的的取取值值范范围围．．解：令,12log2taa则原不等式化为2(3)220txtxt,此不等式恒成立，故2300,(2)8(3)0ttttt由,012log2aa得0a1.即即所求求aa的的取取值值范范围围为为0a1.．．函数axfx31)(的定义域是（-∞，1]，求a的取值范围。解：由题意知：x≤1是不等式031ax的解，∵031ax①，如果0a①的解集为x∈R，与条件矛盾，故a0。a0时①等价于)1(log133axax，又31311)1(log13aaax