解析中考数学中的折叠问题解析

1D'C'B'DABCMEFBE'D'ACDEF解析中考数学中的折叠问题贵州省平坝县红湖学校张建刚邮编561104为了考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，近几年来中考中常出现折叠问题。几何图形的折叠问题，实际是轴对称问题。处理这类问题的关键是根据轴对称图形的性质，搞清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠后有哪些条件可利用。所以一定要注意折叠前后的两个图形是全等的。即对应角相等，对应线段相等。有时可能还会出现平分线段、平分角等条件。这一类问题，把握住了关键点，并不难解决。下面就近几年的几道中考题来谈谈这类问题的处理方法。例1（成都市中考题）把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在'BM或'BM的延长线上，那么∠EMF的度数是（）A、85°B、90°C、95°D、100°分析与解答：本题考查了有关折叠的知识。由题意可知：∠BME=∠'EMC，∠CMF=∠'FMC，''180BMCCMC°，又'CM与'BM重合，则∠EMF=∠'EMC+∠'FMC=''11()18022BMCCMC°=90°，故选B。例2（山东省淄博中考题）将一矩形纸片按右图方式折叠,BC、BD为折痕,折叠后'AB与'EB在同一条直线上,则∠CBD的度数()A、大于90°B、等于90°C、小于90°D、不能确定分析与解答：这个例题在叙述上虽然和例1不一样，但它们的本质是一样的。故也选B。例3（武汉市实验区中考题）将五边形ABCDE纸片按如图的方式折叠，折痕为AF,点E、D分别落在'E、'D。已知∠AFC=76°，则'CFD等于（）A、31°B、28°C、24°D、22°CE'A'DAEB2分析与解答：本题同样是考查了折叠的知识。根据题意得：'AFDAFD180°-76°=104°，则'CFD=104°-76°=28°，故选B。例4（河南省实验区中考题）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连结OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点'A的位置，若OB=5，1tan2BOC，则点'A的坐标为。分析与解答：本题考查了结合坐标系求解矩形折叠问题的能力。由OB=5，1tan2BOC，得OC=2，BC=1。如图：'AB与CO交于点F，过点'A作'AE⊥EO于点E，'AG⊥CO于点G，设BF=x，FC=y，根据勾股定理得222BFCFBC，即221xy，又因为∠COB=∠ABO，∠'ABO=∠ABO所以∠COB=∠'ABO，则BF=OF，由此得2xy，解上面两个方程得54x，34y，则''11[]22AOBSAGFOBCFOOAOB，解得'35AGEO，又因为'1OA，则由勾股定理得'45AE，由此得'A34(,)55。例5（河北省实验区中考题）小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图（1）的方式进行折叠，使折痕的右侧部分比左侧部分长1㎝，展开后再按图（2）的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1㎝，展开后得到图（3），在纸片上形成的两条折痕之间的距离是㎝。图（1）图（2）图（3）分析与解答：本题考查了通过动手操作发现规律、求解问题的能力。由于两次都不是对折，但两次的折痕到对折的折痕距离都是0.5㎝，所以两条折痕之间的距离是1㎝。也可以借助实验操作得两条折痕之间的距离是1㎝。xA'BOyCAGEF3图1DABCEGF(甲)(乙)例6（浙江省实验区中考题）现有一张长和宽的比为2∶1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四部分（称为一个操作），如图甲（虚线表示折痕），除图甲外，请再给出一个不同．．的操作，分别将折痕画在矩形中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作。如图乙和图甲是相同的操作）。答案列举如下：例7（南京市年中考题）已知矩形纸片，AB=2，AD=1。将纸片折叠后，使顶点A与边CD上的点E重合。(1)如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G（如图1），AF=23，求DE的长；(2)如果折痕FG分别与CD、AB交于点F、G（如图2），△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长。分析与解答：（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=23，∠D=90°，图2DAGBFECMNO4根据轴对称的性质，得EF=AF=23。∴DF=AD-AF=13，在Rt△DEF中,由勾股定理得22213333DE。（2）设AE与FG的交点为O，根据轴对称的性质，得AO=EO，取AD的中点M，连接MO，则MO=12DE，MO∥DC。设DEx，则12MOx，在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°∴AE为△AED的外接圆的直径，O为圆心。延长MO交BC于点N，则ON∥CD，∴∠CNM=180°-∠C=90°∴ON⊥BC，四边形MNCD是矩形。∴MN=CD=AB=2，∴ON=MN-MO=122x∵△AED的外接圆与BC相切，∴ON是△AED的外接圆的半径。∴OE=ON=122x，AE=2ON=4-x。在Rt△AED中，222ADDEAE∴2221(4)xx解这个方程，得158x。∴158DE，1172216OEx。根据轴对称的性质，得AE⊥FG，∴∠FOE=∠D=90°。又∵∠FEO=∠AED，∴△FEO∽△AED，∴FOOEADDE，∴OEFOADDE可得1730FO又AB∥CD，∴∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO∴△FEO≌△GAO∴FO=GO∴17215FGFO，∴折痕FG的长是1715。从这几年的中考题目来看，折叠问题的考查，受到了青睐。从试题类型来看，有填空题、选择题，也综合性解答题。这类问题主要是和矩形联系在一起，既考查了矩形的有关知识，也考查了轴对称的性质，还考查了学生的动手操作能力，所以在教学的过程中值得我们重视。联系人：贵州省平坝县红湖学校张建刚邮编561104邮箱[e-mail]