解析几何的关系问题

3.利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围.例18．设G、M分别是ABC的重心和外心，A(0,a)，B(0,a)(a0)，且GMAB，（1）求点C的轨迹方程；（2）是否存在直线m，使m过点(a,0)并且与点C的轨迹交于P、Q两点，且OPOQ0？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由.解答过程：（1）设C(x,y)，则xyG(,)33，因为GMAB，所以GM//AB，则xM(,0)3，由M为ABC的外心，则|MA||MC|，即2222xx()a(x)y33，整理得：2222xy1(x0)3aa；（2）假设直线m存在，设方程为yk(xa)，由2222yk(xa)xy1(x0)3aa得：22222(13k)x6kax3a(k1)0，设1122P(x,y),Q(x,y)，则21226kaxx13k，221223a(k1)xx13k，22212121212yyk(xa)(xa)k[xxa(xx)a]＝2222ka13k，由OPOQ0得：1212xxyy0，即2222223a(k1)2ka013k13k，解之得k3，又点(a,0)在椭圆的内部，直线m过点(a,0)，故存在直线m，其方程为y3(xa).小结：（1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断；CBAoyx4.利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易.例12．设椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为33，过点C(1,0)的直线交椭圆E于A、B两点，且CA2BC，求当AOB的面积达到最大值时直线和椭圆E的方程.解答过程：因为椭圆的离心率为33，故可设椭圆方程为222x3yt(t0)，直线方程为myx1，由222x3ytmyx1得：22(2m3)y4my2t0，设1122A(x,y),B(x,y)，则1224myy2m3…………①又CA2BC，故1122(x1,y)2(1x,y)，即12y2y…………②由①②得：128my2m3，224my2m3，则AOB1221mS|yy|6||22m3＝66322|m||m|，当23m2，即6m2时，AOB面积取最大值，此时2122222t32myy2m3(2m3)，即t10，所以，直线方程为6xy102，椭圆方程为222x3y10.小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易.例13．已知PA(x5,y)，PB(x5,y)，且|PA||PB|6，求|2x3y12|的最大值和最小值.解答过程：设P(x,y)，A(5,0)，B(5,0)，因为|PA||PB|6，且|AB|256，所以，动点P的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为6的椭圆，椭圆方程为22xy194，令x3cos,y2sin，则|2x3y12|＝|62cos()12|4，当cos()14时，|2x3y12|取最大值1262，当cos()14时，|2x3y12|取最小值1262.5.圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心.例7．（2007年广东卷文）在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、半径为22的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.椭圆9222yax=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.（1）求圆C的方程；（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.[考查目的]本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．[解答过程](1)设圆C的圆心为(m,n)则,222,mnn解得2,2.mn所求的圆的方程为22(2)(2)8xy(2)由已知可得210a，5a．椭圆的方程为221259xy,右焦点为F(4,0);假设存在Q点222cos,222sin使QFOF,22222cos4222sin4．整理得sin3cos22，代入22sincos1．得:210cos122cos70,122812222cos11010．因此不存在符合题意的Q点.例8．（2007年安徽卷理）如图,曲线G的方程为)0(22yxy.以原点为圆心，以)0(tt为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于A与点B.直线AB与x轴相交于点C.（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为2a,求证：直线CD的斜率为定值.[考查目的]本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力.[解答过程]（I）由题意知，).2,(aaA因为.2,||22taatOA所以由于.2,02aatt故有（1）由点B（0，t），C（c，0）的坐标知，直线BC的方程为.1tycx又因点A在直线BC上，故有,12taca将（1）代入上式，得,1)2(2aaaca解得)2(22aac.（II）因为))2(22(aaD，所以直线CD的斜率为1)2(2)2(2))2(22(2)2(22)2(2aaaaaacaakCD，所以直线CD的斜率为定值.例9．已知椭圆2222xyE:1(ab0)ab，AB是它的一条弦，M(2,1)是弦AB的中点，若以点M(2,1)为焦点，椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点N(4,1)，若椭圆离心率e和双曲线离心率1e之间满足1ee1，求：（1）椭圆E的离心率；（2）双曲线C的方程.解答过程：（1）设A、B坐标分别为1122A(x,y),B(x,y)，则221122xy1ab，222222xy1ab，二式相减得：21212AB21212yy(xx)bkxx(yy)a2MN22b1(1)k1a24，所以2222a2b2(ac)，22a2c，则c2ea2；（2）椭圆E的右准线为22a(2c)x2ccc，双曲线的离心率11e2e，设P(x,y)是双曲线上任一点，则：22(x2)(y1)|PM|2|x2c||x2c|，两端平方且将N(4,1)代入得：c1或c3，当c1时，双曲线方程为：22(x2)(y1)0，不合题意，舍去；当c3时，双曲线方程为：22(x10)(y1)32，即为所求.