解析函数展开成罗朗级数的方法分析

解析函数展开成罗朗级数的方法分析摘要本文给出解析函数展开成罗朗级数的两类方法（即直接展开法和间接展开法）的分析．通过分析可见，由于直接法要求函数的各阶导数，显然困难，繁杂．因此，我们常采用间接法．关键词双边幂级数；罗朗级数；直接展开；间接展开１定义及定理定义：级数2012()()cczacza(1).)(221azcazc(2)当且仅当rR时，（1）及（2）有公共的收敛区域即圆环H：r|z－a|R．称级数（1）与（2）之和为双边幂级数．可表示为nnnnzzc)(0(3)其中Cn（n=0,±1,…）为复常数，称为双边幂级数的系数由以上定义、阿贝尔定理及幂级数和的解析性可得定理：设双边幂级数(3)的收敛圆环为(0,)HrzaRrR：，则(1)(3)在H内绝对收敛且内闭一致收敛于：12()()()fzfzfz．(2)()fz在H内解析．(3)nnnazczf)()(在H内可逐项求导p次(p=1，2，…)．(4)函数()fz可沿H内曲线C逐项积分．前面指出了双边幂级数在其收敛圆环内表一解析函数，反过来有罗朗定理：在圆环(0,)HrzaRrR：内解析的函数()fz必可展成双边幂级数：nnnnzzczf)()(0(4)其中daficnn1)()(21（n=0,±1,…）(5)为圆周)(||Rra，并且展式是惟一的（即由f(z)及H惟一地决定系数nc）定义：(4)称为函数()fz在点a的罗朗展式，(5)称为其系数，而(4)右边的级数则称为罗朗级数．2方法分析要将一个解析函数展成罗朗级数，需要考虑的问题要比展为泰勒级数要多．首先罗朗级数是在圆环域内()fz的奇点a展开的，它的系数为：daficnn1)()(21可见，一个函数在不同的圆环域内有不同的罗朗展式，因此给定一个函数()fz后，首先是找出它的奇点，进而要确定函数可以在哪个圆环域内展为罗朗级数．然后是找到展开的方式，即直接展开法和间接展开法．2.1直接展开法即：依据罗朗定理的系数公式daficnn1)()(21，（n=0，±1，±2，…）先求出系数nc，然后再写出nnnzzczf)()(0．例1在0|z|+∞内，将2)(zezfz展为罗朗级数．解：在复平面上除点在z0=0外，发()fz处处解析，所以f(z)在圆环域0|z|+∞内解析．取c为圆周(0)cz：，则nnnzczf)(，deidzficcncnn31021)()(21（n=0，±1，±2，…）而当3n时，3ne在c上解析，0nc；当2n时，由高阶导数公式，有.)!2(1)()!2(1210223nedzdndeizznncn即)!2(1ncn于是，得zzzzzzf0,4!3!2111)(22！2.2间接展开法根据函数展开为双边幂级数的唯一性，通过利用已知的一些初等函数的泰勒展开式来展开，在展开函数为罗朗级数时，仍然以泰勒级数为基础，常用方法如下：2.2.1用公式011nnzz（|z|1）．要将函数bazczf)(展开，关键在于将()fz变形，使表示式中出现11因式，且||1.这里的取定还跟圆环域的中心与半径有关．例2求)1(1)(zzzf的罗朗级数．解：函数()fz有两个奇点z=0和1，从而可以在4个圆环域10z；110z；z1和1aaz(a1正数)内展为罗朗级数．①在10z内，有1111()11fzzzzz＝＝)1(12nzzzz＝nzzzz211；②在110z内，有)1(1111111)(zzzzzf＝])1()1()1()1(1[112nnzzzz＝nnzzzz)1()1()1()1(11112;③在z1内，因为11z，所以有)11(111111)(zzzzzzf＝]1111[112nzzzzz＝nzzz11132;④在1aaz(a1正数)内，有zzzf111)(＝aazaaaza)(111)1()(1111＝])1()()1()(11[1122nnaazaazaaza－])()1()(1[122nnnaazaazaaza＝nnnnnnnnaazaaz)()1()1()()1(0102.2.2代换法即在已知函数展开式中，通过代换因式得到新的罗朗级数．例3求函数1sin)(zzzf在去心领域z0的罗朗级数．解：在11z内)111sin(1sin)(zzzzf1sin1coscos1sin11zzz＝24232111sin1[12!(1)4!(1)1(1)](2)!(1)11cos1[13!(1)1(1)](21)!(1)nnnnzznzzznz　　　　　　例4求函数)1(1)(zezf在圆环域z1内展为罗朗级数．解：因为)1(1)(zezf在z1内解析，所以)1()1(zzezf在圆环域1z内，有!3!21)1(321zzzezfzz，亦可写为1,!3!21)1(321令zw1，即得：在z1内，有3211!31!2111zzzez2.2.3部分分式法当发()fz为有理分式函数时，先分解()fz为部分分式，然后展为罗朗级数．例5求函数)1)(2(52)(22zzzzzf在圆环域21z和520z内的罗朗级数展开式．解：因为1221)(2zzzf，所以①在21z内，有)11(12)21(121)(22zzzzf2200121()(1)()22nnnnnzzz＝12210012(1)2nnnnnnzz＝②在520z内，有)11(21)(izizizzf11111[]221(2)(2)21(2)(2)iziziizi＝01(1)2nniz＝nnnnzii)2(5)2()2(1112.2.4微分方程法利用被展开函数的导数与函数的关系，建立微分方程，通过解微分方程求得函数的各阶导数值，进而写出函数的洛朗级数展开式．一般适用于不易找到合适展开式可以利用，而函数导数有保留原来函数因式的情形．如()()xfze的情形．例6在点的去心领域内，将函数2(2)()zfze展成罗朗级数．解：令1z，得1(12)1()()fzfe．而0是此函数的解析点，记此函数简记为()，于是1(12)()e，(0)e，'1(12)22()(12)e，'(0)2e，''1(12)3484()[](12)(12)e，''(0)12e，所以22226(1),2zeezzz这里z是()fz的可去奇点，令()fe则可化为解析点．2结束语通过对罗朗级数求解方法的分析，举例．希望能给读者学习罗朗级数问题带来帮助，使读者学起来更容易，并且更好、更系统的掌握它．参考文献[1]钟玉泉．复变函数论（第四版）[M]．北京：高等教育出版社，2004．184--192[2]孙清华，赵德修．新编复变函数题解[M]．武汉：华中科技大学出版社，2001．199--209[3]余家荣．复变函数（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2000．73--83致谢：本文得到韩山师范学院刘波老师的指导，特此致谢！ThisarticlegivestheanalyticfunctiontolaunchChengtheLuobrightprogressiontwokindofmethodstheanalysis（namelydirectmethodofdevelopmentandindirectmethodofdevelopment）Byanalyzingthevisible,asaresultofdirectmethodrequestfunctionvariousstepsderivative,obviouslydifficult,numerousanddiverse.Therefore,weoftenusetheindirectmethodKeyword:BilateralpowerseriesBilateralpowerseriesLuobrightprogressionLaunchesdirectlyLaunchesindirectly