解析函数在平面响向量中的应用

解析函数在平面向量场中的应用（地质12-2彭彦林2012010066）摘要：解析函数，作为复变函数中一种非常特殊但又极其重要的函数，在理论研究和工程实践中都有着非常广泛的应用。在这之中，解析函数又与二维平面调和场有着千丝万缕的联系，即二维平面调和场可以用对应的解析函数表示。本文将通过对流量、环量、散度及旋度等向量场参考量物理意义的阐释，提出调和场的概念。在此基础之上，探讨二维平面调和场与解析函数的内在联系及前者能用后者表示的根本原因，进而得出向量场复势及流函数、势函数的表示方法。最后，通过对流速场及电磁场两个实例的分析，为读者展示解析函数在平面向量场中的应用。关键词：解析函数、调和场、复势、流函数、势函数。1.引例例1.在平面直角坐标系X0Y的原点处放一电量为+q的点电荷，试求平面上电场及电势的分布。如图1-1所示。由点电荷场强及电势的分布公式，200=44rqEerqr我们很容易看出电势的分布只与该点到原点的距离r有关，即电场等势线是一系列以原点为中心的同心圆。又由等势线垂直于电场线，可知电场线是以原点为端点沿同心圆半径伸展的射线。等势线及电场线的分布如图1-1所示。尽管如此，我们仅仅大致推断出了该电场等势线及电场线的分布，对于这两者准确的数学表示及后续更精确。更细微的研究，我们只算是知之半解。通过本文的探究，我们能够应用解析函数准确地表示这样的一个电场及其电场、等势线。图1-1点电荷等势线（虚线）与电力线（实线）的分布但是在此之前，我们要先介绍一个概念——调和场2.调和场。我们假设有一个向量场V=P(x,y)i+Q(x,y)j+R(x,y)k,P、Q、R是V在X、Y、Z三轴上的投影，并且具有一阶连续偏导。2.1流量与散度。设∑是V场内一片有向曲面，n是∑在某点出的单位法向量，则我们把积分VndS称为向量场V的通过曲面∑向着指定侧的流量（或通量）。对于流量的物理意义，我可以理解为流体单位时间通过某一面的体积或质量。现在，我们先给出散度的概念：()PQRdivVxyz.为了解释这一概念，我们需要用到高斯公式：()dPQRdvPdydzQzdxRdxdyxyz.在此，我们先将前面假设曲面∑为闭曲面。我们知道dVndSPdydzQzdxRdxdy,由高斯公式得()PQRVndSdvxyz.上式的左边表示单位时间内流过闭曲面∑流体的体积。那么对应的，上式的右边表示，单位时间内闭曲面∑内产生相应流过∑流体的质量。以闭区域Ω的体积v除以上式两端，得11()PQRVndSdvvvxyz.对上式右边应用积分中值定理，得(,,)1()xyzPQRVndSvxyz.这里的（x,y,z）是∑内的某个点，现在让∑缩向一点M（x,y,z）,取上式的极限得1lim()MPQRVndSvxyz上式的右端就是我们所定义的散度，记做()PQRdivVxyz.由此，不难得出散度表示流体在某一点处M的源头强度——在单位时间单位体积内所产生的流体质量。在div(M)=0的点处，表示流体在该点处无源。如果向量场在一定区域内div(V)=0，则称向量场在该区域内为无源场。2.2环量与旋度。假设L是曲线V内一条分段光滑的有向闭曲线，l是L在某一点出的单位切向量，则积分LVlds称为向量场V沿闭曲线L的环量。对于环量的物理意义我们可以理解为向量场沿着闭曲线所做的功。环量和通量一样，是描述向量场的重要参数。某个区域中的环量不等于零，说明这个区域中的向量场表现出环绕某一点或某一区域旋转的特性。旋度则是局部地描述这一特性的方法。为了描述一个向量场在一点附近的环量，将闭合曲线收小，使它包围的面元的面积趋于零。向量场沿着的环量和面元的比值在趋于零时候的极限值：就是的环量面密度（或称为环量强度）。显然，随着面积取的方向不同，得到的环量面密度也有大有小。如果要表现一点附近向量场的旋转程度，则应该表现出其最大可能值以及其所在面积的方向。而向量场的旋度是一个向量。它在一个方向上的投影的大小表示了在这个方向上的环量面密度的大小。也就是说，在一点的旋度记为或，满足(为所在平面的法向量。)在直角坐标系下()ijkrotVxyzPQR.由此可知旋度是一个向量，它表示沿着该方向旋转会有最大的环量，其大小为旋度的模。当向量场内某一区域个点的旋度都为零时，我们称向量场在该区域为无旋场。当一个向量场V既是无源场又是无旋场时，我们称之为调和场。本文应用解析函数所表示的向量场均是平面调和场。3.平面调和场能用解析函数的内在联系。通过最开始的引例我们知道，点电荷产生的电场在除了原点的平面内是一个调和场，其电场线和等势线在平面内处处垂直。无独有偶，我们知道，对于一个解析函数f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y),其实部和虚部所表示的曲线族u(x,y)=C1、v(x,y)=c2也有类似的性质。对此，我们给出如下证明：设（x,y）是两曲线族的交点，且0,0yyUV，设F(x,y)=u(x,y)-C1,H(x,y)=v(x,y)-C2,则，F(x,y)、H(x,y)在交点（x,y）处的斜率为12,xxyyUVkkUV因为f(x,y)满足柯西-黎曼条件，图2.2-1对旋度物理意义的理解，表示在该点的旋转程度所以，121xxyyUVkkUV故，曲线族u(x,y)=C1与v(x,y)=c2相互正交。这就说明解析函数具有表示一个平面调和场的能力。实际上，究其根本，是因为解析函数的实部函数与虚部函数都是调和函数，即满足拉普拉斯方程：22220xy正是由于这个性质，才使得解析函数能够表示一个平面调和场。那么现在的问题是，如何构造一个解析函数来表示平面调和场？4.复势、流函数与势函数既然我们知道一个解析函数实部和虚部的曲线族可以分别表示一个平面调和场的场线和势线，那么现在关键就是要构造这样一个解析函数。4.1流函数与势函数设G是一平面调和场，(,)(,)Guxyivxyj,其中向量分量u(x,y)与v(x,y)都有一阶连续偏导数。又因为是调和场，所以()0xydivGuv,即xyuv.从而得知vdxudy是某一个二元函数(,)xy的全微分，即(,)dxyvdxudy.由此得,vuxy.当沿着(,)xy的等值线(,)xy=C1时，(,)dxyvdxudy=0，所以dyvdxu。上式的左边dydx表示曲线(,)xy=C1的导数，即其某点切线的斜率。为了理解上式的右边，我们得理解(,)(,)Guxyivxyj这样一个向量值函数。如图4.1-1。我们知道向量值函数G（x,y）表示起点为原点、终点随x、y变化的一系列向量，那么其中一条向量所在直线的斜率就可以表示为tanvu。即vu向量场中某一向量的方向。那么dyvdxu表示的就是场G在等值线(,)xy=C1上每一点处的向量G都与等值线相切。我们将等值线(,)xy=C1称为流线，函数(,)xy称为场G的流函数。引例中的电场线就尅可以用流函数(,)xy表示。同样的道理，我们来讨论如何表示等势线。同样因为G是调和场，则()0rotG；即0xyvu.说明udxvdy是某个二元函数(,)xy的全微分，即(,)dxyudxvdy.由此得,uvxy,从而有gradG.也就是说G在等值线(,)xy=C2上每一点处的向量G都等值线的切线垂直。则我们就将(,)xy=C2称为等势线，将(,)xy称为向量场G的势函数。4.2复势现在我们已经分别用流函数和势函数表示了平面调和场的流线和等势线。但巧合的是，我们还发现,vuxy,,uvxy.则,xyyx,即(,)xy与(,)xy满足柯西-黎曼条件，那么我们可以构造一个解析函数()(,)(,)fzxyixy,这个解析函数是以向量场G的势函数为实部、流函数为虚部。那么函数f(z)与向量场(,)(,)Guxyivxyj又由什么联系呢？我们可以注意到(,)(,)Guxyivxy=iixxyy即(,)(,)Guxyivxy=()fz、我们就将函数f(z)称为向量场G的复势。由此，我们得出结论：在一个单连通区域内，平面调和场G可以通过构造一个解析函数——它的复势——来表示；反之，在某一区域内给定一个解析函数f(z),那么就会存在一个以它为复势的平面调和场，并且可以得出它的流函数与势函数，进而画出流线和等势线的图形。5.具体应用例1.回到最开始的引例，我们现在用复势来求出点电荷电场的的势函数和力函数（电场中的流函数）。解：同样先利用公式204rqEer.得20001444iqqzqEezzzz.所以复势函数为()fz、=()Ez=014qz.由对数函数的导数公式得，所求复势函数为0()4qfzLnzc,其中C为复常数。将实部与虚部分开，就分别得到是势函数和流函数为(,)xy=0ln4qzc，(,)xy=20+c4qArgz,画出等势线和电力线图像，与图1-1表示的一致。例2.求102()ln2zzqizzz所表示的平面向量场。解：因为11111020220202()lnln()()ln2222zzzzzzzzzzqiqiqqziArgArgizzzzzzzzzz，所以向量场的势函数与流函数分别为102(,)()2zzqxyArgzz，102(,)ln2zzqxyzz，所以流线方程为1112022ln2zzzzqcczzzz（0122cqce）,即2222211222()()()()xxyycxxyy,其表示的是圆心在1z、2z上的一系列圆族，如图5-1实线所示。等势线方程为102()2zzqArgzz=3c，其表示的是一系列圆心在1z、2z中垂线上、过1z、2z的圆族。如图5-1虚线所示。例3有线状热源作用的平板.如图5-2所示，在平板中安置直角坐标系O-xy。设坐标原点O处有一垂直于（x,y）平面的线状热源。热源持续稳定的发热，单位长度、单位时间的发热量为q。试分析其热流场。已知该热场的温度分布函数为111lnln22qrqzTTrz式中，1TT是M（Z）点与M1（Z1）点的温差，Z1是一个复常数，是材料的导热率。解：已知了温度函数的分布，具相当于知道了该热流场复势函数的实部函数。图5-1该解析函数等势线（虚线）流线（虚线）分布图图5-2热流场的等温线（圆族）与热流线即(,)xy=1ln2qzz由对数函数的性质不难得出复势函数为1()2qzfzLnz分离出虚部，就得到流函数(,)xy=2q1()zArgz在热力学中，我们把复势的实部函数称为温度分布函数，把虚部函数称为热流密度函数。6.结语通过本文的论证和叙述，我们可以知道，由于解析函数的实部和虚部函数都是调和函数，所以一个解析函数可以同时表示一个平面调和场的流函数和势函数，即平面调和场和解析函数存在一一对应的关系。正是由于两者这种紧密的联系，使得我们在解决有关平面向量场的问题时，可以有效地利用解析函数，避免了分开讨论流函数和势函数所带来的麻烦，具有非常好的优越性。正应为如此，才使得解析函数在流体力学、电磁学和热传导等学科中有着非常广泛的应用。