算法的时间复杂度和空间复杂度

算法的时间复杂度和空间复杂度都是用大O表示法，来表示的。其中O是个常量。常见的排序算法的时间复杂度：冒泡排序、插入排序、希尔排序、选择排序的时间复杂度是O（n^2）；快速排序的时间复杂度是O（n*logn）;空间复杂度：冒泡排序、插入排序、希尔排序、选择排序的空间复杂度是O（1）；快速排序的时间复杂度是O（logn）;常见的查找算法的时间复杂度：线性结构的查找的时间复杂度，如二分查找（用于已经排好序的数据，如已序的数组）；O(n)非线性结构的查找的时间复杂度，如二叉查找树；O（logn）排序类别时间复杂度空间复杂度稳定1插入排序O(n2)O(1)√2希尔排序O(n2)O(1)×//Shell（希尔）排序是基于插入排序的，时间效率比插入、选择、冒泡高，但又比快速排序低点；3冒泡排序O(n2)O(1)√4选择排序O(n2)O(1)×5快速排序O(Nlogn)O(logn)×6堆排序O(Nlogn)O(1)×7归并排序O(Nlogn)O(n)√冒泡排序、插入排序、归并排序是稳定的，算法时间复杂度是O(n^2)；选择排序、快速排序、堆排序、希尔排序都是不稳定的；算法的时间复杂度一、时间复杂度定义定义：如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)，它是n的某一函数T(n)称为这一算法的“时间复杂性”。当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂性”。二、大O表示法我们常用大O表示法表示时间复杂性，注意它是某一个算法的时间复杂性。大O表示只是说有上界，由定义如果f(n)=O(n)，那显然成立f(n)=O(n^2)，它给你一个上界，但并不是上确界，但人们在表示的时候一般都习惯表示前者。此外，一个问题本身也有它的复杂性，如果某个算法的复杂性到达了这个问题复杂性的下界，那就称这样的算法是最佳算法。“大O记法:在这种描述中使用的基本参数是n，即问题实例的规模，把复杂性或运行时间表达为n的函数。这里的“O”表示量级(order)，比如说“二分检索是O(logn)的”,也就是说它需要“通过logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法O(f(n))表示当n增大时，运行时间至多将以正比于f(n)的速度增长。这种渐进估计对算法的理论分析和大致比较是非常有价值的，但在实践中细节也可能造成差异。例如，一个低附加代价的O(n2)算法在n较小的情况下可能比一个高附加代价的O(nlogn)算法运行得更快。当然，随着n足够大以后，具有较慢上升函数的算法必然工作得更快。O(1)Temp=i;i=j;j=temp;以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。O(n^2)2.1.交换i和j的内容sum=0；（一次）for(i=1;i=n;i++)（n次）for(j=1;j=n;j++)（n^2次）sum++；（n^2次）解：T(n)=2n^2+n+1=O(n^2)2.2.for(i=1;in;i++){y=y+1;①for(j=0;j=(2*n);j++)x++;②}解：语句1的频度是n-1语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2).O(n)2.3.a=0;b=1;①for(i=1;i=n;i++)②{s=a+b;③b=a;④a=s;⑤}解：语句1的频度：2,语句2的频度：n,语句3的频度：n-1,语句4的频度：n-1,语句5的频度：n-1,T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).O(log2n)2.4.i=1;①while(i=n)i=i*2;②解：语句1的频度是1,设语句2的频度是f(n),则：2^f(n)=n;f(n)=log2n取最大值f(n)=log2n,T(n)=O(log2n)O(n^3)2.5.for(i=0;in;i++){for(j=0;ji;j++){for(k=0;kj;k++)x=x+2;}}解：当i=m,j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时,j可以取0,1,...,m-1,所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n,则循环共进行了:0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n^3).我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。如快速排序的最坏情况运行时间是O(n^2)，但期望时间是O(nlogn)。通过每次都仔细地选择基准值，我们有可能把平方情况(即O(n^2)情况)的概率减小到几乎等于0。在实际中，精心实现的快速排序一般都能以(O(nlogn)时间运行。