解直角三角形的知识点总结

解直角三角形直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余几何表示：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。几何表示：∵∠C=90°∠A=30°∴BC=21AB3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半几何表示：∵∠ACB=90°D为AB的中点∴CD=21AB=BD=AD4、勾股定理：222cba5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项∵∠ACB=90°CD⊥AB∴BDADCD2ABADAC2ABBDBC26、常用关系式由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC锐角三角函数的概念如图，在△ABC中，∠C=90°casin斜边的对边AAcbcos斜边的邻边AAbatan的邻边的对边AAAabcot的对边的邻边AAA锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数ACBD锐角三角函数的取值范围：0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.锐角三角函数之间的关系（1）平方关系1cossin22AA（2）倒数关系tanAtan(90°—A)=1（3）弦切关系tanA=AAcossincotA=AAsincos（4）互余关系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)特殊角的三角函数值αsinαcosαtanαcotα30°123233345°22221160°3212333说明：锐角三角函数的增减性，当角度在0°~90°之间变化时.（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。解直角三角形的理论依据：以上.对实际问题的处理（1）俯、仰角.（2）方位角、象限角.仰角俯角北东西南αhlii=h/l=tgα（3）坡角、坡度.补充：在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。有关公式（1）1sin2SabC=1sin2bcA=1sin2acB（2）Rt△面积公式：1122Sabch（3）结论：直角三角形斜边上的高abhc（4）测底部不可到达物体的高度．如右图，在Rt△ABP中，BP=xcotα在Rt△AQB中，BQ=xcotβBQ—BP=a，即xcotβ-xcotα=a．解直角三角形的知识的应用，可以解决：(1)测量物体高度．(2)有关航行问题．(3)计算坝体或边路的坡度等问题典型例题：1.在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦、余弦（）（A）都扩大2倍（B）都扩大4倍（C）没有变化（D）都缩小一半2.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=54，则cosB的值等于（）A．53B.54C.43D.55ABPQxαβa3.在正方形网格中，ABC△的位置如图所示，则cosB的值为（）A．12B．22C．32D．334.在RtABC中，C=90º，A=15º，AB的垂直平分线与AC相交于M点，则CM：MB等于（）（A）2：3（B）3：2（C）3：1（D）1：35.等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为（）（A）600（B）900（C）1200（D）1500\6.身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛，三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表（假设风筝是拉直的），则三人所放的风筝中()同学甲乙丙放出风筝线长100m100m90m线与地面夹角40º45º60ºA、甲的最高B、丙的最高C、乙的最低D、丙的最低7..如图，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60O方向，这艘渔船以28km/时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15O方向，此时，灯塔M与渔船的距离是（）Ａ．km27Ｂ．km214Ｃ．km7Ｄ．km148、河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：3（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（）A．53米B．10米C．15米D．103米６０ＯＡＡＢＡＭＡ东9.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路PQ上A处距离O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为A．12秒．B．16秒．C．20秒．D．24秒．10、084sin45(3)4=11、在△ABC中，∠A=30º，tanB=13，BC=10，则AB的长为.12、锐角A满足2sin(A-150)=3,则∠A=.13、已知tanB=3，则sin2B=.14、某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个破面的坡度为.15、如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为______米（保留根号）．ABCDαA1l3l2l4l16.如图，已知直线1l∥2l∥3l∥4l，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sin．17.△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，若AC=3．求线段AD的长．16.腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图①）.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°（如图②）.若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据3173.）．17.如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长.DCBA②①（第16题图）ABCD18.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C＝60°，AD＝4，BC＝6，求AB的长．第18题19、某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度．如示意图，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为．测得A，B之间的距离为4米，tan1.6，tan1.2，试求建筑物CD的高度．20、一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长．21、综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度。如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β=72°。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）.（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）ACDBEFGABCDEFMNRαβ