解题基本方法03.待定系数法

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三、待定系数法要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是:对于一个任意的a值,都有f(a)g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相等。待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程。使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断一个问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果具有,就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解。使用待定系数法,它解题的基本步骤是:第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式;第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程;第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决。如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析:①利用对应系数相等列方程;②由恒等的概念用数值代入法列方程;③利用定义本身的属性列方程;④利用几何条件列方程。比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程:首先设所求方程的形式,其中含有待定的系数;再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组;最后解所得的方程或方程组求出未知的系数,并把求出的系数代入已经明确的方程形式,得到所求圆锥曲线的方程。Ⅰ、再现性题组:1.设f(x)=x2+m,f(x)的反函数f1(x)=nx-5,那么m、n的值依次为_____。A.52,-2B.-52,2C.52,2D.-52,-22.二次不等式ax2+bx+20的解集是(-12,13),则a+b的值是_____。A.10B.-10C.14D.-143.在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是_____。A.-297B.-252C.297D.2074.函数y=a-bcos3x(b0)的最大值为32,最小值为-12,则y=-4asin3bx的最小正周期是_____。5.与直线L:2x+3y+5=0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。6.与双曲线x2-y24=1有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。【简解】1小题:由f(x)=x2+m求出f1(x)=2x-2m,比较系数易求,选C;2小题:由不等式解集(-12,13),可知-12、13是方程ax2+bx+2=0的两根,代入两根,列出关于系数a、b的方程组,易求得a+b,选D;3小题:分析x5的系数由C105与(-1)C102两项组成,相加后得x5的系数,选D;4小题:由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值,再代入求得答案23;5小题:设直线L’方程2x+3y+c=0,点A(1,-4)代入求得C=10,即得2x+3y+10=0;6小题:设双曲线方程x2-y24=λ,点(2,2)代入求得λ=3,即得方程x23-y212=1。Ⅱ、示范性题组:例1.已知函数y=mxxnx22431的最大值为7,最小值为-1,求此函数式。【分析】求函数的表达式,实际上就是确定系数m、n的值;已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域,对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。【解】函数式变形为:(y-m)x2-43x+(y-n)=0,x∈R,由已知得y-m≠0∴△=(-43)2-4(y-m)(y-n)≥0即:y2-(m+n)y+(mn-12)≤0①不等式①的解集为(-1,7),则-1、7是方程y2-(m+n)y+(mn-12)=0的两根,代入两根得:1120497120()()mnmnmnmn解得:mn51或mn15∴y=5431122xxx或者y=xxx224351此题也可由解集(-1,7)而设(y+1)(y-7)≤0,即y2-6y-7≤0,然后与不等式①比较系数而得:mnmn6127,解出m、n而求得函数式y。【注】在所求函数式中有两个系数m、n需要确定,首先用“判别式法”处理函数值域问题,得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式,且知道了它的解集,求参数m、n。两种方法可以求解,一是视为方程两根,代入后列出m、n的方程求解;二是由已知解集写出不等式,比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻,也要求理解求函数值域的“判别式法”:将y视为参数,函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程,可知其有解,利用△≥0,建立了关于参数y的不等式,解出y的范围就是值域,使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。例2.设椭圆中心在(2,-1),它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直,且此焦点与长轴较近的端点距离是10-5,求椭圆的方程。【分析】求椭圆方程,根据所给条件,确定几何数据a、b、c之值,问题就全部解决了。设a、b、c后,由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程,再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a-c的值后列出第二个方程。【解】设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c,则|BF’|=a∴abcaabac2222222105()解得:ab105∴所求椭圆方程是:x210+y25=1也可有垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后,由其性质推证出等腰Rt△B’O’F’,再进行如下列式:bcacabc105222,更容易求出a、b的值。【注】圆锥曲线中,参数(a、b、c、e、p)的确定,是待定系数法的生动体现;如何确定,要抓住已知条件,将其转换成表达式。在曲线的平移中,几何数据(a、b、c、e)不变,本题就利用了这一特征,列出关于a-c的等式。一般地,解析几何中求曲线方程的问题,大部分用待定系数法,基本步骤是:设方程(或几何数据)→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。例3.是否存在常数a、b、c,使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=nn()112(an2+bn+c)对一切自然数n都成立?并证明你的结论。(89年全国高考题)【分析】是否存在,不妨假设存在。由已知等式对一切自然数n都成立,取特殊值n=1、2、3列出关于a、b、c的方程组,解方程组求出a、b、c的值,再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立。【解】假设存在a、b、c使得等式成立,令:n=1,得4=16(a+b+c);n=2,得22=12(4a+2b+c);n=3,得70=9a+3b+c。整理得:abcabcabC2442449370,解得abc31110,于是对n=1、2、3,等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=nn()112(3n2+11n+10)成立,下面用数学归纳法证明对任意自然数n,该等式都成立:yB’xAFO’F’A’B假设对n=k时等式成立,即1·22+2·32+…+k(k+1)2=kk()112(3k2+11k+10);当n=k+1时,1·22+2·32+…+k(k+1)2+(k+1)(k+2)2=kk()112(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2=kk()112(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2=()()kk1212(3k2+5k+12k+24)=()()kk1212[3(k+1)2+11(k+1)+10],也就是说,等式对n=k+1也成立。综上所述,当a=8、b=11、c=10时,题设的等式对一切自然数n都成立。【注】建立关于待定系数的方程组,在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中,也体现了方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时,可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列13+23+…+n3、12+22+…+n2求和的公式,也可以抓住通项的拆开,运用数列求和公式而直接求解:由n(n+1)2=n3+2n2+n得Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2=(13+23+…+n3)+2(12+22+…+n2)+(1+2+…+n)=nn2214()+2×nnn()()1216+nn()12=nn()112(3n2+11n+10),综上所述,当a=8、b=11、c=10时,题设的等式对一切自然数n都成立。例4.有矩形的铁皮,其长为30cm,宽为14cm,要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形,将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子,问x为何值时,矩形盒子容积最大,最大容积是多少?【分析】实际问题中,最大值、最小值的研究,先由已知条件选取合适的变量建立目标函数,将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。【解】依题意,矩形盒子底边边长为(30-2x)cm,底边宽为(14-2x)cm,高为xcm。∴盒子容积V=(30-2x)(14-2x)x=4(15-x)(7-x)x,显然:15-x0,7-x0,x0。设V=4ab(15a-ax)(7b-bx)x(a0,b0)要使用均值不等式,则abaaxbbxx10157解得:a=14,b=34,x=3。从而V=643(154-x4)(214-34x)x≤643(1542143)3=643×27=576。所以当x=3时,矩形盒子的容积最大,最大容积是576cm3。【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件,当条件不满足时要凑配系数,可以用“待定系数法”求。本题解答中也可以令V=4ab(15a-ax)(7-x)bx或4ab(15-x)(7a-ax)bx,再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组,求出三项该进行凑配的系数,本题也体现了“凑配法”和“函数思想”。Ⅲ、巩固性题组:1.函数y=logax的x∈[2,+∞)上恒有|y|1,则a的取值范围是_____。A.2a12且a≠1B.0a12或1a2C.1a2D.a2或0a122.方程x2+px+q=0与x2+qx+p=0只有一个公共根,则其余两个不同根之和为_____。A.1B.-1C.p+qD.无法确定3.如果函数y=sin2x+a·cos2x的图像关于直线x=-π8对称,那么a=_____。A.2B.-2C.1D.-14.满足Cn0+1·Cn1+2·Cn2+…+n·Cnn500的最大正整数是_____。A.4B.5C.6D.75.无穷等比数列{an}的前n项和为Sn=a-12n,则所有项的和等于_____。A.-12B.1C.12D.与a有关6.(1+kx)9=b0+b1x+b2x2+…+b9x9,若b0+b1+b2+…+b9=-1,则k=______。7.经过两直线11x-3y-9=0与12x+y-19=0的交点,且过点(3,-2)的直线方程为_____________。8.正三棱锥底面边长为2,侧棱和底面所成角为60°,过底面一边作截面,使其与底面成30°角,则截面面积为______________。9.设y=f(x)是一次函数,已知f(8)=15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比数列,求f(1)+f(2)+…+f(m)的值。10.设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2),对称轴与x轴平行,开口向右,直线y=2x+7和抛物线截得的线段长是410,求抛物线的方程。

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