计数原理及随机变量的分布

版权所有：中华资源库计数原理、概率、随机变量及其分布列,一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．A、B、C、D、E五人排一个5天的值日表，每天由一人值日，每人可以值多天或不值，但相邻的两天不能由同一人值，那么值日表的排法种数为()A．120B．324C．720D．1280解析：第一天有5种排法，以后各天都有4种排法，故总排法为N＝5×4×4×4×4＝1280种．答案：D2．在(1＋x＋x2)(1－x)10的展开式中，含x4项的系数是()A．135B．－135C．375D．－117解析：(1＋x＋x2)(1－x)10＝(1－x3)(1－x)9，且(1－x)9的展开式的通项是Tr＋1＝9Cr·(－x)r＝9Cr·(－1)r·xr，因此(1＋x＋x2)(1－x)10的展开式中，含x4项的系数等于1×49C·(－1)4－19C·(－1)1＝135.答案：A3．(2010·安顺模拟)某班级要从5名男生、3名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有一名女生，那么选派的4人中恰好有2名女生的概率为()A.27B.49C.511版权所有：中华资源库解析：由已知易知至少有一名女生的情况共有48C－45C种，而恰有2名女生的情况共有23C25C种可能，故其概率为223548CCCC＝613.34A答案：D4．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于S4的概率是()A.14B.12C.34D.23解析：由已知可设△ABC的边AB上的高为h.则S＝12|AB|·h，S△PBC＝12|PB|·h，所以S△PBC＝|PB||AB|·SS4，又|PB|14|AB|的概率为34；故S△PBCS4的概率为34.答案：C5．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝pk(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(ξ)，D(ξ)的值分别是()A．0和1B．p和p2C．p和1－pD．p和(1－p)·p解析：ξ的分布列表为：版权所有：中华资源库－pp知ξ服从两点分布．∴E(ξ)＝p，D(ξ)＝1×p(1－p)＝p(1－p)．答案：D6．已知随机变量ξ服从正态分布N(4,62)，P(ξ≤5)＝0.89，则P(ξ≤3)＝()A．0.89B．0.22C．0.11D．0.78解析：由题意知正态分布图象关于直线x＝4对称，故由P(ξ≤5)＝0.89⇒P(4≤ξ≤5)＝0.89－0.5＝0.39，因此P(3≤ξ≤4)＝0.39，故有P(ξ≤3)＝0.5－P(3≤ξ≤4)＝0.5－0.39＝0.11.答案：C7．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1,2,3，…，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为()A.151B.168C.1306D.1408解析：基本事件总数n＝38C，以1为首项3为公差的等差数列，共有6项，符合题意的火炬手有4种选法；同理以2为首项3为公差的等差数列，以3为首项3为公差的等差数列，符合题意的选法分别有4种，故所求概率P＝38444C＝168.答案：B8．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求版权所有：中华资源库甲、乙两人至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为()A．360B．520C．600D．720解析：若甲乙同时参加，可以先从剩余的5人中选出2人，先排此两人，再将甲乙两人插入其中即可，则共有25C22A23A种不同的发言顺序；若甲乙两人只有一人参加，则共有12C35C35C种不同的发言顺序，综合可得不同的种发言顺序为25C22A23A＋12C35C44A＝600种．答案：C9．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次实验成功，则在10次实验中，成功次数ξ的期望是()A.809B.559C.509D.103解析：由题意一次试验成功的概率为1－23×23＝59，10次试验为10次独立重复试验，则成功次数ξ～B10，59，所以E(ξ)＝509.答案：C10．(2010·三亚模拟)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离版权所有：中华资源库的概率为()A.14B.12C.34D.78解析：两点设为a，b，则0≤a≤1,0≤b≤1，两点之间的距离小于12，则|a－b|12，画出可行域，为图中阴影部分，面积为34，概率为34.答案：C11．(2009·安徽高考)考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成版权所有：中华资源库直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于()A.175B.275C.375D.475解析：甲从6个点中任意选两个点连成直线总共有26C种不同的选法，同样，乙也有26C种不同的选法，所以总共有26C26C＝225种选法，其中相互平行但不重合的直线共有6对，甲、乙两人选一对，各选一条有16C·12C＝12种选法，所以所求概率就是475.答案：4CkD12．已知函数f(x)＝x3－3x，当x在区间上任意取值时，函数值不小于0又不大于2的概率是()A.3－34B.3－33C.2－34D.2－33解析：函数f(x)＝x3－3x的两个极值点是－1、1，三个零点是±3、0，结合函数图象和函数的单调性可以知道，当x在区间，[3，2]上取值时符合要求，故所求的概率是1＋(2－3)4＝3－34.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)13．如右图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，版权所有：中华资源库＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是________．解析：S矩形OABC＝2π，S阴影＝π0sindxx＝2，由几何概型概率公式得P＝22π＝1π.答案：1π14．(2010·烟台模拟)若(ax2－1x)9的展开式中常数项为84，则a＝__________，其展开式中二项式系数之和为________．(用数字作答)解析：二项式(ax2－1x)9的通项公式为9Cr·a9r－·x182r－·(－1)r·rx－＝(－1)r9Cr·a9r－·x183r－，令18－3r＝0可得r＝6，即得常数项为(－1)669C·a96－＝84a3＝84，解之得a＝1.其展开式二项式系数和为29＝512.答案：151215．有4个标号为1,2,3,4的红球和4个标号为1,2,3,4的白球，从这8个球中任取4个球排成一排．若取出的4个球的数字之和为10，则不同的排法种数是________．解析：若取出的球的标号为1,2,3,4，则共有1111422224CCCCA＝384种不同的排法；若取出的球的标号为1,1,4,4，则共有44A＝24种不同的排法；若取出的球的标号为2,2,3,3则共有44A＝24种不同的排法；由此可得取出的4个球数字之和为10的不同排法种数是384＋24＋24＝432.版权所有：中华资源库答案：43216．将某城市分为四个区(右图所示)，现有5种不同颜色，图①②③④每区只涂一色，且相邻两区必须涂不同的颜色(不相邻两区所涂颜色不限)，则②区被涂成红色的概率是________．解析：区域①有C15种涂色方法，区域②、③、④的涂色方法依次有14C、13C、14C种，由分步计数原理知不同涂色方法有15C14C13C14C＝240种．区域②被涂成红色，则区域③有14C种，区域④有C14种，区域①有13C种，故P＝4×4×3240＝15.答案：15三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)一个口袋里有2个红球和4个黄球，从中随机地连取3个球，每次取一个，记事件A为“恰有一个红球”，事件B为“第3个是红球”．求：(1)不放回时，事件A、B的概率；(2)每次抽后放回时，A、B的概率．解：(1)由不放回抽样可知，第一次从6个球中抽一个，第二次只能从5个球中取一个，第三次从4个球中取一个，基本事件共6×5×4＝120个，又事件A中含有基本事件3×2×4×3＝72个，(第一个是红球，则第2,3个是黄球，取法有2×4×3种，第2个是红球和第3个是红球取法一样多)，∴P(A)＝72120＝35.因为红球数占总球数的13，在每一次抽到都是随机地等可能事版权所有：中华资源库件，∴P(B)＝13.(2)由放回抽样知，每次都是从6个球中取一个，有取法63＝216种，事件A含基本事件3×2×4×4＝96种．∴P(A)＝96216＝49.第三次抽到红球包括B1＝{红，黄，红}，B2＝{黄，黄，红}，B3＝{黄，红，红}，B4＝{红，红，红}四种两两互斥的情形，P(B1)＝2×4×2216＝227；P(B2)＝4×4×2216＝427；P(B3)＝4×2×2216＝227；P(B4)＝2×2×2216＝127，∴P(B)＝P(B1)＋P(B2)＋P(B3)＋P(B4)＝227＋427＋227＋127＝13.18．(本小题满分12分)(2010·大连模拟)某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人(其中女生人数多于男生人数)，如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为815.(1)求该小组中女生的人数；(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过版权所有：中华资源库，每个男生通过的概率均为12.现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．解：(1)设该小组中有n个女生．根据题意，得1110-210CCCnn＝815.解得n＝6，n＝4(舍去)．∴该小组中有6个女生．(2)由题意，ξ的取值为0,1,2,3.∵P(ξ＝0)＝12×12×14＝116；P(ξ＝1)＝C1212×12×14＋122×34＝516；P(ξ＝2)＝C12122×34＋122×14＝716；P(ξ＝3)＝122×34＝316.故ξ的分布列为：ξ0123P116516716316∴E(ξ)＝0×116＋1×516＋2×716＋3×316＝74.19．(本小题满分12分)甲，乙两人约定在下午1点到2点之间到某汽车站乘公共汽车．又这段时间内有4班公共汽车，它们的开车时刻分别为1∶15,1∶30,1∶45，2∶00.已知甲、乙到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在1点到2点的任何时刻到版权所有：中华资源库达车站是等可能的．(1)如果他们约定见车就乘，求甲，乙同乘一辆车的概率；(2)如果他们约定最多等一辆车，求甲，乙同乘一辆车的概率．解：设x，y(1≤x≤2,1≤y≤2)分别为甲，乙到达的时刻．P为甲乙同乘一辆车的概率．(1)见车就上的情况如图(1)所示．P＝阴影部分面积正方形面积＝4×142(2－1)2＝14.(2)法一：最多等一辆车的情况下，甲乙同乘一车包括3种情况：见车就上；甲先到达等一辆车然后与乙同乘一辆车(如图(2))；乙先到达等一辆车，然后与甲同乘一车．P＝14＋3×1161×2＝58.法二：如图(3)，P＝116×1012＝58.版权所有：中华资源库．(本小题满分12分)A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列