计算方法总复习

计算方法总复习第一章绪论例1．已知数x=2.718281828...,取近似值x*=2.7182,那麽x具有几位有效数字点评；考查的有效数字的概念。解；**3142.7182818282.71820.00008182110.0005101022exx故有四位有效数字。例2．近似数*0.01999x关于真值*0.02000x有几位有效数字解：**4130.019990.020000.00001110.00005101022exx故有三位有效数字。例3．数值x*的近似值x=0.1215×10－2，若满足xx()，则称x有4位有效数字点评；已知有效数字的位数，反过来考查有绝对误差。解；有四位有效数字则意味着如果是一个形如1230.naaaa的数则绝对误差限一定为41102，由于题目中的数2120.10nxaaa,故最终的绝对误差为4261110101022例4．有效数***1233.105,0.001,0.100xxx，试确定***123xxx的相对误差限。点评；此题考查相对误差的传播。*****1()()()nrriiiifeyexxyx故有************112233123123******123123()()()()()()()rrrrexxexxexxexexexexxxxxxxxx解：333******123123***123111101010()()()222()3.1050.0010.100rexexexexxxxxx=0.0004993例5．sin1有2位有效数字的近似值0.84的相对误差限是.解法1：00625.01016110821112（有效数字与相对误差限的关系）解法2；21100.840.00595242（相对误差限的概念）例6．*nx的相对误差为*x的相对误差的----倍。解：根据误差传播公式*****1()()()nrriiiifeyexxyx则有'**1(*)(*)()/*nnnrrexxexxxn第二章例1．设()fx可微，求()xfx根的牛顿迭代公式----。解；化简得到()0xfx根据牛顿迭代格式),2,1,0()(')(1kxfxfxxkkkk则相应的得到1()(0,1,2,)1'()kkkkkxfxxxkfx例2：求方程01)(3xxxf在区间[1,1.5]内的实根。要求准确到小数点后第2位。思路；用二分法，这里a=1,b=1.5，且f(a)0，f(b)0。取区间[a,b]的中点x0=1.25将区间二等分，由于f(x0)0，即f(x0)与f(a)同号，故所求的根必在x0的右侧，这里应令a1=x0=1.25，b1=b=1.5，而得到新的有根区间（a1,b1）。对区间（a1,b1）再用中点x1=1.375二分，并进行根的隔离，重复步骤2、3；解：预先估计一下二分的次数：按误差估计式)(21111*ababxxkkkk解得k=6，即只要二分6次，即达所求精度。计算结果如下表：kakbkxkf(xk)的符号011.51.25-11.251.51.375+21.251.3751.3125-31.31251.3751.3438+41.31251.34381.3281+51.31251.32811.3203-61.32031.32811.3242-例3：求方程0210)(xxxf的一个根解：因为f(0)=10f(1)=-70，知方程在[0,1]中必有一实根，现将原方程改为同解方程210xx)2lg(xx由此得迭代格式)2lg(1kkxx收敛性判断；当(0,1)x时，()lg(2)(0,1)xx，且由于11'()0.21711(2)ln102ln10xx，故迭代格式收敛取初始值x0=1，可逐次算得x1=0.4771x2=0.3939…x6=0.3758x7=0.3758例4：求方程0133xx在[0,0.5]内的根，精确到10-5。解：将方程变形)()1(313xxx因为0)('2xx，在[0,0.5]内为增函数，所以125.05.0)('max2xL满足收敛条件，取x0=0.25，用公式（2.3）算得x1=(0.25)=0.3385416x2=(x1)=0.3462668x3=(x2)=0.3471725x4=(x3)=0.3472814x5=(x4)=0.3472945x6=(x5)=0.3472961x7=(x6)=0.3472963取近似根为x*=0.347296例5：用牛顿迭代法建立求平方根c（c0）的迭代公式，并用以上公式求78265.0解：设cxxf2)(，（x0）则c就是f(x)=0的正根。由为f’(x)=2x，所以得迭代公式kkkkxcxxx221或kkkxcxx211（2.6）由于x0时，f’(x)0，且f(x)0，根据定理3知：取任意初值cx0，所确定的迭代序列{xk}必收敛于c。取初值x=0.88，计算结果见表kxk00.8810.8846920.8846830.88468故可取88468.078265.0第三章例1．.用列主元消去法解线性方程组615318153312321321321xxxxxxxxx计算过程保留4位小数.解.[Ab]=6111151318153312(选1821a为主元)6111153312151318),(21rr(换行，消元)7166.54944.07166.1053333.21015131813121811812rrrr(选1667.132a为主元，并换行消元)5428.98142.3001667.54944.01667.1015131823321667.11),(rrrr系数矩阵为上三角形矩阵，于是回代得解0000.1)18/(]0000.230000.315[0000.27166.1/]0000.34944.07166.5[0000.38142.35428.9123xxx方程组的解为X(1.0000,2.0000,3.0000)T例2：用列主元高斯消去法求解方程72452413221321321xxxxxxxx由于解方程组取决于它的系数，因此可用这些系数（包括右端项）所构成的“增广矩阵”作为方程组的一种简化形式。对这种增广矩阵施行消元手续：702145241312*第一步将4选为主元素，并把主元素所在的行定为主元行，然后将主元行换到第一行得到61005.025.010125.15.0125.5875.0005.025.010125.15.01625.15.1015.020125.15.01702113124524*第三步消元第二步消元第一步消元消元过程的结果归结到下列三角形方程组：65.025.0125.15.0332321xxxxxx回代，得619321xxx例3：用直接三角分解法解201814513252321321xxx解：（1）对于r=1，利用计算公式111u212u313ul21=2l31=3（2）对于r=2，12212222ulau=5–22=113212323ulau=2–23=-451)231()(2212313232uulal（3）r=324))4()5(33(5)(233213313333ululau于是LUA2441321153121（4）求解：Ly=b得到y1=14y2=b2–l21y1=18–214=-10y3=b3–(l31y1+l32y2)=20–(314+(-5)(-10))=-72从而y=(14,-10,-72)T由Ux=y得到324723333uyx21)34(10)(2232322uxuyx11)3322(14)(1131321211uxuxuyxTx)3,2,1(例5：用雅克比迭代法和高斯――赛得尔迭代法解线性方程组877901081119321xxx解：所给线性方程组的系数矩阵按行严格对角占优，故雅克比迭代法和高斯――赛得尔迭代法都收敛。D=diag(9,8,9)D-1=diag(1/9,1/8,1/9)009/1008/19/19/101ADI9/78/79/71bD雅克比迭代法的迭代公式为：9/78/79/7009/1008/19/19/10)()1(kkXX取X(0)=(0,0,0)T，由上述公式得逐次近似值如下：k01234X(i)0008889.08750.07778.09753.09723.09738.09993.09993.09942.09993.09993.09993.0高斯――赛得尔迭代法：8091781791)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx迭代结果为：k01234x(i)0009753.09722.07778.09993.09993.09942.00000.10000.19998.0000.1000.1000.1例6．考察用高斯赛德尔迭代法解方程组1231231239268888xxxxxxxxx收敛性，并取(0)(1,0,0)Tx，求近似解(1)kx，使得(1)()310kkiixx（i=1，2，3）解法同上（1，1，-1）例7.设矩阵A＝52111021210，那么以A为系数矩阵的线性方程组AX＝b的雅可比迭代矩阵为(A)(A)04.02.01.002.01.02.00(B)14.02.01.012.01.02.01(C)04.02.01.002.01.02.00(D)021102120例8、高斯--塞尔德迭代法解线性方程组的迭代格式中求＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿例9、若则矩阵A的谱半径(A)=＿＿＿第五章第六章1．矛盾方程组112.83.2xx的最小二乘解为----。2．给出拟合三点(0,1),(1,0)AB和(1,1)C的直线方程。第七章1．插值型求积公式的求积系数之和为＿1＿＿已知1)(2xxf，则差商]3,2,1[f。3．求积公式31()2(2)fxdxf有几次的代数精确度？（1）4．插值型求积公式0()()nbiiaifxdxAfx的代数精确度至少是----次。N5．已知n=4时牛顿－科茨求积公式的