计算方法考题B05(答案)

1计算方法——答案2005-12-18学院姓名学号注：考查的同学请在“考查”栏内打“√”，谢谢！1、（4分）在浮点数系中求解方程01162xx，应如何计算，才能获得较准确的根21,xx？请写出计算式：较大的正根73824256161x,1分较小的正根16274.112Exx；3分2、（4分）设3321),,(RxTxxx，按332321,2,maxxxxxxxx方式定义函数的是否范数？；是3、（6分）设xxf1)(，则差商],,2,1[nf!)1(1nn；（符号1分）4、（6分）已知如下分段函数为三次样条，试求系数FDCBA,,,,：]3,2[)2()2(86.1)2(68.0]2,1[5.0)1(28.1)1(26.1)1(04.1]1,0[)(232323xFxDxxxxxxxCxBxAxxS]3,2[0.2)2(68.0)2(86.1)2(68.0]2,1[5.0)1(28.1)1(26.1)1(04.1]1,0[2.018.048.0)(232323xxxxxxxxxxxxxSA0.48B=-0.18C=.02D=0.68F=2.05、（6分）已知导数近似计算式及其误差如下：)()(!5)(!3)()(21)(6)5(42hOxfhxfhhxfhxfhxf，记：)()(21)(hxfhxfhhD则：外推：4阶)]()([)]2()2([861)]()2(4[31)()(hxfhxfhxfhxfhhDhDhDxf6阶：)(xf)]()2(16[151)(~hDhDhD；26、（6分）迭代21132kkkxxx，若收敛则将收敛于x=44224957.133，若取初值303x迭代必收敛，收敛阶为2；（033x的Newton迭代）（初值可取任何：00x，也正确）——每空2分7、（8分）定义内积：10)()(,dxxgxfegfx，取1)(,0)(01xx，则由此确定的正交多项式系的1次多项式为：)(1x=1)1(ex，对应的代数精度为1的Gauss型积分公式10)(dxxfex))1(()1(1efe；8、（8分）已知)(xfy的数据表如下：i12345ix-1-0.500.51iy00.50000.70710.86601求一次式xccxp10)(使512])([iiiyxpE最小；xxpcc4732.061462.0)(,183.10731.35.2510；计算错，扣1~2分9、（7分）若矩阵12112aaA可分解为TGG形式，其中G为下三角矩阵，且对角元均为正，问a的取值范围？并请按此要求将此A分解之。答：2232132232123213223212,23aaaaaA,23a——2分，LUA——2分；TLDLLU——1分，TGGLDLT——2分10、（10分）求不超过3次多项式)(xp，满足)()(),()(iiiixfxpxfxp；若]2,1[1)()4(xxf，求)(xp的误差界，即)()(max21xfxpx；311)(31)(21xfxfx差商表：43132123211111解：921174)2()1(2)1()1(1)(2322xxxxxxxxp；002604167.0)41(241)()2()1(!4)()(222)4(xExxfxR差商表——5分，多项式——1分共6分误差公式——2分，计算值——2分共4分11、（12分）确定以下公式的系数CBA,,使之具有尽可能高的代数精度，并求其误差：hhhCfBfhAfdxxf22)()0()()(解：2232316)(0)(41)(ChAhhxxfChAhxxfCBAhxf——4分解得：hBhCA34,38，公式hhhffhfhdxxf22)(2)0()(234)(——2分验证：代数精度为3，——1分误差,取节点：hhhh,,,,则22)()(],,,,[)(hxhxxhhhhfxR,)(4514)(5*3*37*215112!4)(34!4)(1592!4)(]0,,,,[34)()(],,,,[]0,,,,[34)()(2)0()(234)()]([)]([)]([)()4(5)4(55)4(51)4(50)4(5222252222fhfhhfhfhfhhhhfhdxhxhxhhhhfhhhhfhdxxRhRRhRhdxxRxRQxRIxREfEhhhhhh——形成)(xR——3分，计算——2分共——5分或：由于代数精度为3，故可令)()()4(kffE，取4)(xxf代入：khkhhhhdxxhh24316!420)(23456452244454得54514hk，即)(4514)()4(5fhfE；412、（15分）解常微分方程0)(),,(yayytfy的算法，)()(211111nnnnnnfffhyyy（1）要求算法具有尽可能高的精度，应如何选择系数,,，并给出误差；（2）若要使此算法为2阶算法，应如何选择系数,,，并给出误差。（3）选择一个0的2阶方法与2阶隐式方法——梯形法组合，形成“预估-修正-校正-改进”公式；答：)(48414123)(21)(5)4(4321hOyhyhyhyhyyhtynnnnnnn（1）,81,1,8341224123)()(48),(),83(8)(215)4(41111hOtyhhtEfffhyyynnnnnnn，（2）)41,247(245,414123)()()83()()()81()()()241(),(434343hOtyhhOtyhhOtyhhtEnnn若取45,41:0：)()(81),(),5(4)(2143111hOtyhhtEffhyyynnnnnn取41,1:43)()(85),(),34(4)(21431111hOtyhhtEfffhyyynnnnnnn取85,87:0)()(21),(),57(8)(21431111hOtyhhtEffhyyynnnnnn（3）取4147:0)()(83),(),7(4)(2143111hOtyhhtEffhyyynnnnnn梯形：)],(),([2111nnnnnnytfytfhyy，)(12),(3iyhhtE5)()(83),(),7(4)(2143111hOtyhhtEffhyypnnnnnn)(2411311yhpynn)(112)],(),([2)(119)7(4)(21111111111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnpccymtfytfhycpcpmffhyyp结构-待定系数4分，（1）2（公式）+1（截断误差）（2）2+1（3）0：公式+误差：1分，预估-校正：1分，修正3分13、（8分）设),,1,0(nixi是互异实数，试证明：nnniniixxxxl1001)1()0(，其中)(xli为Lagrange基本插值多项式。证：令)0()0(0)0()(11Rxlfxxfniin)())(()()()!1()()(10)1(1nnxnxxxxxxxxnxxRnnxxxR101)1()0(，由此得结论。了解Lagrange基本插值多项式——1分试图用1)(nxxf证明——1分未证明：1)(inixx——扣4分