计算方法考题B06(答案)

计算方法——答案2006-12-24考查成绩学院姓名学号1、（4分）82.71828182e，则近似值：71828325.21x有6位有效数字，71828225.22x有7位有效数字；2、（4分）设432)(3axxxf（a均为实数），则差商：]3,2,1[f=12，]3,2,1,0[f=2；3、（4分）具有1n个节点的插值型数值积分公式baniiixfAdxxf0)()(的代数精度至少是n阶，至多是2n+1阶；4、（4分）已知函数)(xf是单峰函数，在[1，2]区间有极小点，利用0.618法进行一维优化：函数值：6192.1)618.1(,4095.1)382.1(ff，则删去部分区间后保留区间：]2,382.1[，下次计算函数值的点是：1.764；5、（4分）按数值积分的复化Simpson公式计算得：47612.0,47446.084SS，由此可估计误差：8)(SfI00011.01500166.01547446.047612.0；6、（6分）三阶Hilbert矩阵3H及其逆矩阵如下，则3H的范数意义下的条件数：)(3HCond748)408*611(；又，解方程组)6047,1213,611(3xH，若残量r的范数01.0r，则可估计解的误差xx4.08；514131413121312113H18018030180192363036913H7、（8分）函数)(xf有形式xBxAxfcossin)(，测试数据如下表：x4664)(xf-1.06-0.5671.431.77请给出用最小二乘法确定系数BA,的法方程（取3位有效数字计算）：50.20050.1707.866.866.707.707.500.500.707.0GGGTT25.1325.124.1491.749.25.15.284.749.)77.143.1567.06.1(yGyTT得：xxxfcos5.0sin2)(500.00.2yGBAGGTT8、（10分）用Gauss消去法解以下方程组，并将其系数矩阵A分解为LDU形式（L单位下三角、D对角、U单位上三角矩阵）：537122438024321321321xxxxxxxxx；答：3320102145342010214537122438021442310121411314143121A121x主元：535300342350537123523403423505371202142438537125432319、（10分）方程组：5642252421025321321321xxxxxxxxx考察用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代解方程组的收敛性；解：方法（1）将原方程第3行两边除2，便为对称：016,0164225,05321242125AA正定，032,0164225,053212421252AAD正定，因此，Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代收敛；〈完〉方法（2）若对方程不作改变，Jacobi迭代矩阵：0)2915(232124212503231212151520323121021515203JIJ记51)()15(9)(2915)(23，又由,02)0(,0256)51(,0)1(,)(及04)1(,0256)51(，因此，方程0)(在)51,1(，及)1,51(),51,51(中各有一解，因此1)(J，因此Jacobi迭代收敛；Gauss-Seidel迭代的迭代矩阵GS：154)(15715405351051520)(02012061611524110151642425)(1111FEDFEDFED或：迭代矩阵GS谱半径)(GS是以下特征多项式的根：0)11015(8642242125(2FE)D解得：1)6.11(31)(15105)6.11(31,03,21GS，所以Gauss-Seidel迭代收敛；〈完〉10、（10分）已知方程0252)(xxfx在区间)1,0(中有唯一解x，给出包含此解的长度不超过0.5的区间，及一个简单迭代，使之在此前定的区间中任取初值，迭代收敛于x；解：]75.0,7.0[73244255.0x由025.22)5.0(,01)1(,03)0(fff可知]1,5.0[x令)22(51)(xx，迭代]1,5.0[),(01xxxkk，因0)(0252ln)(xxxx，而5.0)22(51)5.0(，]1,5.0[]1,5.0[18.0)1(，又)(02)2(ln51)(2xxx由1)(01252ln)1(,0252ln)5.0(qxq，因此，由定理可知，迭代]1,5.0[,,2,1),(01xkxxkk收敛。11、（12分）试给出计算以下积分的两点求积公式，使之具有尽可能高的代数精度，并请给出此时公式的误差：)()()1)((21112xBfxAfdxxxf令112)()()1(,dxxgxfxgf，解：1、确定公式①正交多项式：,52)(,)(1)(,0)(:)(22101xxxxxxxk0)1(),(,1516)5131(2)1(),(0)1(),(,38)311(2)1(),(112001122111120011200dxxxxdxxxdxxxxdxx所以，节点52,5221xx，3452252)1()()(112111dxxxdxxlxA3452252)1()()(112112dxxxdxxlxB公式：)]52()52([34)1)((112ffdxxxf或②待定系数法：,0)(1516)(0)(381)(323132221221BxAxxxfBxAxxxfBxAxxxfBAxf利用对称区间性质：令523421xBABAxx由此可得与上相同的公式。为得到误差，考察代数精度：令4)(xxf：]254*2[34)]52()52([343524)75()1(11751124ffxxdxxx因此，代数精度为3。2、误差：由于代数精度为3，故)()()()4(rffQfI令25*9*717!4*7*5*5*313625*3323524)()()(444rrxQxIxxf)1,1()(010793651.)(157517)(25*9*717)()4()4()4(ffffE若用广义Peano定理：取：22)52()52](52,52,52,52[)(xxxfxR)1,1()(157517]254751625171[!4)()254251651(!4)()52)(1(!4)()52()1(]52,52,52,52[)52](52,52,52,52[)1()()1()]52()52([34)()1()()()()()4(11357)4(11246)4(11222)4(2211222112112112fxxxxfdxxxxfdxxxfdxxxfdxxxfxdxxRxRRdxxRxRQRIREfE12、（12分）解常微分方程初值问题0)(),,(yayytfy的算法：)(111nnnnnfffhyy1）确定系数,,，使算法具有尽可能高的精度，并给出局部截断误差；2）请将所得公式与以下公式结合，组成“预估-修正-校正”公式：)(83),(),23165(12)4(4121nnnnnnnyhhtEfffhyy；解：1）①数值积分方法：11))(,()(1nnnnttnttnndttytftydttytyty1111111111111111111],,,[))(,(nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnttttttttttffttttttttfttttttttftttttttttytf令shttn，有：11101115812)1(21)1)(1()1(21))(,(1nnnnnnnnttnnfffhydsfssfssfsshydttytftytynn1141041111,)(241)1)(1(!3)())()(](,,,[),(1nnttnnnnnnittfhdsssshfdtttttttttttfhtEnn或②待定系数法：)(!32)(!32)(!4!325)4(43215)4(43215)4(4321hOyhCyhCyChyChChfyBhBhfhOyhAyhAyAhyAhAhfytyhOyhyhyhyhyhtytynnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn125,128,12131211CBACACACBA得：1115812nnnnnfffhyy)(241)()6112561121(!415)4(45)4(4hOyhhOyhEnn2）取),23165(12121nnnnnfffhyp由)(83)()4(411nnnyhpty及)(241)()4(411nnnyhyty得)(512)()(241011)4(4)4(411nnnnpyfhfhpy，因此有),(5812)(109)23165(121111111121nnnnnnnnnnnnnnnnmtfffhyyypypmfffhyp13、（12分）设hxxxx1201，函数,0)()(,)(,)(,)(20210xfxfCxfBxfAxf求区间],[20xx上满足以上插值条件的分段三次插值多项式（自然样条）；解：设,)(1MxS令0)()(20xSxS，故有)()(),()(22