计算方法考题B07(答案)

西安交通大学研究生考题考试考查成绩课程计算方法（B）考试日期2007-12-30学院姓名学号1、（4分）浮点数系(10,5,2,3)F中共有1080001个数（包括0），实数3.1415926……和1003在该数系中的浮点化数()fl=0.31416E1，100()3fl=0.33333E2，在浮点数系(10,5,2,3)F中计算100()()3flfl0.36475E2；2、（4分）按数值积分的复化梯形公式计算得：40.94451,T80.94568T。由此可估计误差：8()IfT841()0.000393TT；3、（4分）设函数32(),[0,1,]1,[1,2,]pxxqxrxsptpt若那么3；4、（4分）矩阵10001/21001/30101/4001A，则110001/21001/30101/4001A，且1A2512，A3/2，范数意义下的条件数)(ACond=9/4；5、（4分）用四等分法计算2()42fxxx的极小点，若以[0，8]区间为初始搜索区间，那么第一步删去部分区间后保留的搜索区间为：[0,4]；第二步保留的区间为：.[1,3]；6、（6分）已知如下分段函数为三次样条，试求系数,,ABC：23233121()221022201AxxSxxBxxxxCxxx则A=1/2，B=3/2，C=3/2；7、（8分）求满足下述插值条件的插值多项式)(xpx-1012y(x)-2-112y(x)1解：建立差商表[,][,,][,,,][,,,,]12011011011211/22211/23/45/12iixy2215()2(1)(1)(1)(1)212pxxxxxxx8、（8分）已知)(xfy的数据表如下：ix-2-1012iy00.20.50.81求一次式()pxaxb，使得()px为()fx的最小二乘一次近似；解：121111111,10210121112TGG,502.5,0102.6TTGGGY2.52.6TbGGa0.5,0.26ba()0.260.5pxx9、（10分）将如下线性方程组的系数矩阵A作Crout分解，即分解为矩阵乘积LU形式（L下三角、U单位上三角矩阵），并求解该线性方程组。1231234234123422734102774211142xxxxxxxxxxxxxx解：21314110112207122071341101213027742774121114209145lll32434223012207122071121312132352352191450111lllx112201122011121111210213502315/31031110911A10、（10分）线性方程组：1231231232213225xxxxxxxxx考察用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代解此方程组的收敛性；解：312202222111,101det()11()022122022AJIJJ又，0]([detdet)det(11E)FDEDGSIFEDI等价于解：223)2(4422122(detFE)D2)(GS；结论：Jacobi迭代收敛，Gauss-Seidel迭代不收敛。11、（10分）方程3210xx在1.5邻近有根x，首先讨论迭代121(1)kkxx的收敛性；其次对此迭代实施改善，若不收敛，使改善后的迭代收敛；若收敛，使改善后的迭代收敛加速；(21.414,31.732,52.236)解：1/23/2()(1),'()1/2(1)xxxx，取区间1.4,1.6，显然1.4,1.6x。此时，321115'()'(1.6)(1.61)1.0761,[1.4,1.6]220.63xx，因此()()()'()[1.4,1.6]xxxxxxxxx所以，迭代121(1)kkxx不收敛；改善：取32111'(1.5)(1.51)21.414220.512()(1)1.414()12.414xxxxx，迭代10(),1.5kkxxx必收敛。12、（14分）试求如下数值积分公式的结点),,1,0(nixi及求积系数),,1,0(niAi，使公式具有最高代数精度，并求其误差：1210()()niiixfxdxAfx（)1,0n解：方法一具有最高代数精度的求积公式必是Gauss型求积公式，对2(),xx积分区间(1,1)，先求相应的正交多项式。内积：121(,)()()fgxfxgxdx1)(0x),(),()(000001xxxx11220000112(,)(,)03xdxxxxdx010,()xx)(),(),()(]),(),([)()()()(000111111101112xxxxxxxx11221111112(,)0,(,)5xxxxxdxxxxdx1130,5223()5xx0n，结点：00x，112201122()(0)33Axdxxfxdxf代数精度为1()''()Efrf令2()fxx有1221222!035rxxdx因此15r，由此得误差公式：1()()5Eff1n，结点：013/5,3/5xx求积系数112200113/51()323/5xAxlxdxxdx112211113/51()323/5xAxlxdxxdx1211()[(3/5)(3/5)]3xfxdxff代数精度为3(4)()()Efrf令4()fxx有12422113384![()()]355725rxxdx因此817254!525r，由此得误差公式：(4)1()()525Eff方法二：待定系数法0n12001()()xfxdxAfx取()1fx023A()fxx000Ax解得：002,03Ax1212()(0)3xfxdxf将2()fxx代入，等式不再成立。因此代数精度为1.令2()fxx有1221222!035rxxdx因此15r，由此得误差公式：1()()5Eff1n1200111()()()xfxdxAfxAfx010011222001133300112()13()02()5()0fxAAfxxAxAxfxxAxAxfxxAxAx解得：0101331,,355AAxx；公式：)53()53(31)(112ffdxxfx，将4()fxx代入，等式不再成立。因此代数精度为3.误差：由于)()()53()53(31)()4(112frfEffdxxfx令4)(xxf，有175825672)259(3272!4r，因此5251r，由此得误差公式：)(5251)()4(ffE13、（14分）解常微分方程初值问题0(,),,()yftyaxbyay的一个算法（Milne公式）有如下形式：)(2211031iiiiifffhyy1）确定系数012,,,，使算法具有尽可能高的精度，并给出局部截断误差；2）请将所得公式与以下公式结合，组成“预估-修正-校正-改进”公式：5(5)1211119[5199(,)],(,)()24720iiiiiiiiihyyfffftyEthhy解：11()iiyyt,Taylor展开234(4)5(5)611111()()()2!3!4!5!iiiiiiiiytythyhyhyhyhyhyOh2334(4)5(5)611(3)(3)(3)(3)2!3!11(3)(3)()4!5!iiiiiiiiyythyhyhyhyhyhyOh010iihfhy234(4)5(5)611111111111()()23!4!iiiiiiihfhythhyhyhyhyhyOh234(4)5(5)622222222816(2)22()3!4!iiiiiiihfhythhyhyhyhyhyOh0120121122118133194222319182622313214[22]3iiiiiyyhfff114(4)4(4)4(4)4(4)25(5)5(5)5(5)5(5)625(5)5(5)65(5)6(,)()111488[(3)()]4!4!3!333!1114816[(3)()]()5!5!4!334!1109112()()5!35!35!1iiiiiiiiiiiiiiEthytyhyhyhyhyhyhyhyhyOhhyhyOhhyOh5(5)64()45ihyOh预估：]22[341231iiiiifffhyp校正：)],(9195[2411121iiiiiiiptffffhyy对应局部截断误差公式：5(5)61114()(),45iiiytphyOh5(5)1119()()720iiytyhy两式相减5(5)5(5)1111243720()()()720243iiiiyphyhyyp11111114720224()()()45243243iiiiiiytpypyp1111111972019()()()720243243iiiiiiytyypyp从而可得“预估-修正-校正-改进”公式为：1321111211111114[22]3224()243[5199(,)]2419()243iiiiiiiiiiiiiiiiiiiipyhfffmpcphcyfffftmyccp