计算方法考题B08(答案)

西安交通大学考试题课程计算方法B系别考试日期2008年12月27日专业班号姓名学号期中期末1、（4分）在浮点数系(2,8,7,8)F中，共有4097个数（包括0），实数3.625和59.6在该数系中的浮点化数(3.625)fl=20.111010002，(59.6)fl=60.111011102，在浮点数系(2,8,7,8)F中计算(3.625)(59.6)flfl6211111101.0；2、（4分）矩阵1234A，则A7，范数意义下的条件数)(ACond=4.2；3、（4分）设01,,,nxxx(0)n为互异节点，),,1,0()(nixli是Lagrange基本插值多项式，则0()niilx1，0()()nniiixxlx0；4、（4分）若4()fxx，则以-1，0，1，4为插值节点的三次插值多项式3()Lx3244xxx；差商[1,0,1,4]f4；5、（4分）采用牛顿迭代求解方程250x来计算5的近似值，若以05x作为初值，则1x3，该迭代序列{}kx是否收敛到5？是（填“是”或“否”）；成绩共7页第1页6、（8分）在复化梯形公式用nT计算12041Idxx时，若要求误差不超过21106，n至少为多少？解：复化梯形公式误差估计2''(),(,)12nbaEhfab，由于2222232488(31)96(1)'(),''(),'''()0,(0,1)(1)(1)(1)xxxxfxfxfxxxxx''()fx单调增，01max|''()||''(0)|8xfxf因此，n应满足222211111|||''()||''()|8101212126nbaEhffnn20n，所以，n至少为20。7、（8分）用最速下降法求如下二次函数的极小点222),(yxyxf取初值(0)(1,1)Tx，用精确的一维搜索，迭代一步求)1(x；解：yxf42)(x取42)(,110xx0f作为方向，取210p222111(1)minminmin(1)2(12)min310912125419959511299tftfttttttx共7页第2页8、（10分）求不超过2次插值多项式)(xH，使之满足条件：x124y(x)-15y(x)1解：令002002()[,]()()()Hxyyxxxxxxxx则由导数插值条件，应：1021021()[,](2)Hxyxxxxxy由200220[,]2yyyxxxx，12()12(1)(1)(4)31Hxxxxxx9、（10分）给定数据表如下：ix-1-0.500.51iy0.66670.50000.40000.33330.2857求形如011ccx的最小二乘近似函数。解：令1()()pxyx，则拟合函数变为01ccx，故首先将所给数据转化为ix-1-0.500.51ip1.52.02.53.03.511111,1.52.02.53.03.510.500.51TTGP,5012.5,02.52.5TTGGGP,01TTcGGGPc,012.5,1cc近似函数为12.5x共7页第3页10、（10分）将如下线性方程组的系数矩阵A分解为LDU形式（L单位下三角、D对角、U单位上三角矩阵），并求解该线性方程组。123412341234123423430234540344543455757xxxxxxxxxxxxxxxx解：213141234123430123430234540123203445432574745575737963lll3243422131234301234301123201232021171173103144lllx11234211233211143111111234211123321111431111A共7页第4页11、（10分）设323,121Ab用迭代格式1()(0,1,2,)kkkxxbAxk求解方程组Axb，试问实数取何值可使迭代收敛？解：迭代格式为1()()kkkkxxbAxIAxb,故迭代矩阵为10321320112GIA又(13)2||[(1)][(14)]0(12)IG，121,14该迭代格式收敛1()1|1|1,|14|102G故102时，可使迭代收敛。共7页第5页共7页第6页12、（12分）确定以下公式的系数BA,及节点10,xx使公式具有尽可能高的代数精度，求其代数精度，及公式误差：1010()()()fxdxAfxBfx解：具有最高代数精度的求积公式必是Gauss型求积公式，对,1)(x积分区间)1,0(，先求相应的正交多项式：内积：10)()(),(dxxgxfgf1)(0x,),(),()(000001xxxx21),(1),(10001000xdxxdx21)(1xx)(),(),()(]),(),([)()()()(000111111101112xxxxxxxx121)21(),(241)21(),(1021110211dxxdxxxx61121)21)(21()(22xxxxx结点：32121,3212110xx插值多项式：)()()(10100101xfxxxxxfxxxxxp由3101xx求积系数2101)(23)(3211010xxdxxxA2101)(23)(3201001xxdxxxA因此求积公式：)]32121()32121([21)(10ffdxxf代数精度3：(4)()()Efrf令21()[()]fxx,1(4)210()()()()[()]EfrfIfQfxdx误差：(4)(4)(4)112210100()()()()[()][()()]4!4!4!180fffEfxdxxxxxdx[0,1]其中13、（12分）解常微分方程初值问题0(,),,()yftyaxbyay的一个算法有如下形式：1011()iiiiyyhff1）确定系数01,,，使算法具有尽可能高的精度，并给出局部截断误差；2）请将所得公式与以下公式结合，组成“预估-修正-校正-改进”公式：)],(),([2111iiiiiiytfytfhyy,)(12),(3iiyhhtE解：11()iiyyt,Taylor展开234111()()()2!3!iiiiiiytythyhyhyhyOhiiyy2340100001()()2iiiiihfhythhyhyhyOh11iihfhy0100111112132211(3)2iiiihyyff343434111115(,)()[()][()()]()3!2212iiiiiiEthytyhyOhhyOhhyOh预估：11(3)2iiiihpyff校正：111[(,)(,)]2iiiiiihyyftyftp对应局部截断误差公式：34115()(),12iiiytphyOh311()()12iiihytyy两式相减331111612()126iiiiyphyhyyp1111115125()()()1266iiiiiiytpypyp1111111121()()()1266iiiiiiytyypyp从而可得“预估-修正-校正-改进”公式为：11111111111(3)25()6[(,)(,)]21()6iiiiiiiiiiiiiiiiiihpyffmpcphcyftyftmyccp共7页第7页