计算方法试题参考

计算方法试题参考2002-2003第一学期一．计算及推导（5*8）1．已知*3.141,xx，试确定*x近似x的有效数字位数。2．有效数***1233.105,0.001,0.100xxx，试确定***123xxx的相对误差限。3．已知3()0.50.12fxxx，试计算差商0,1,2,3f4．给出拟合三点(0,1),(1,0)AB和(1,1)C的直线方程。5．推导中矩形求积公式''31()()()()()224baabfxdxbaffba6．试证明插值型求积公式0()()nbiiaifxdxAfx的代数精确度至少是n次。7．已知非线性方程()xfx在区间,ab内有一实根，试写出该实根的牛顿迭代公式。8．用三角分解法求解线性方程组123121022331302xxx二．给出下列函数值表ix0.40.50.60.70.8()ifx0.389420.479430.564640.644220.71736要用二次插值多项式计算(0.63891)f的近似值，试选择合适的插值节点进行计算，并说明所选用节点依据。（保留5位有效数字）（12分）三．已知方程ln0xx在(0,1)内有一实根（1）给出求该实根的一个迭代公式，试之对任意的初始近似0(0,1)x迭代法都收敛，并证明其收敛性。（2）00.5x试用构造的迭代公式计算的近似值nx，要求3110nnxx。四．设有方程组112233131232axbaxbaxb（1）当参数a满足什么条件时，雅可比方法对任意的初始向量都收敛。（2）写出与雅可比方法对应的高斯赛德尔迭代公式。（12分）五．用欧拉预估校正法求解初值问题'2(00.2)(0)1xyyxyy取h=0.1，小数点后保留5位。（8分）六．证明求解初值问题'00(,)()yfxyyxy的如下单步法12121(,)11(,)22nnnnnnyyKKhfxyKhfxhyK是二阶方法。（10分）七．试证明复化梯形求积公式101()(()2()())2nbinaihbafxdxfxfxfxhn对任意多的积分节点数n+1,该公式都是数值稳定的。（6分）2003-2004第一学期一．填空（3*5）1．近似数*0.231x关于真值0.229x有----位有效数字。2．*nx的相对误差为*x的相对误差的----倍。3．设()fx可微，求()xfx根的牛顿迭代公式----。4．插值型求积公式0()()nbiiaifxdxAfx的代数精确度至少是----次。5．拟合三点(1,0),(1,3)AB和(2,2)C的常函数是---。二．已知()fx有如下的数据ix123()ifx2412'()ifx3试写出满足插值条件()()iiPxfx以及'(2)'(2)Pf的插值多项式()Px，并写出误差的表达形式。三．（1）用复化辛浦森公式计算10xedx为了使所得的近似值有6位有效数字，问需要被积函数在多少个点上的函数值？（2）取7个等距节点（包括端点）用复化辛浦森公式计算721lgxxdx，小数点后至少保留4位。四．曲线3yx与1yx在点（0.7，0.3）附近有一个交点(,)xy，试用牛顿迭代公式计算x的近似值nx，要求3110nnxx五．用雅可比方法解方程组123122511112213xxx是否对任意的初始向量(0)x都收敛，为什么？取(0)(0,0,0)Tx，求出解向量的近似向量，要求满足(1)()613max10kkiiixx。六．用校正一次的欧拉预估校正格式求解初值问题'2+1(0)0yyy的解函数在0.6x处的近似值，要求写出计算格式。（步长0.3h,小数点后保留5位有效数字）七．设有求解初值问题'00(,)()yfxyyxy的如下格式11(,)nnnnnyaybychfxy如假设11(),()nnnnyyxyyx问常数,,abc为多少时使得该格式为二阶格式？2005-2006第二学期一．填空（3*5）1．设近似数**121.2250,0.5168xx都是四舍五入得到的，则相对误差**12()rexx----。2．矛盾方程组112.83.2xx的最小二乘解为----。3．近似数*0.01999x关于真值*0.02000x有几位有效数字4．取31.732，迭代过程10.13nnyy是否稳定？5．求积公式31()2(2)fxdxf有几次的代数精确度？二．取初值01.6x，用牛顿迭代法求3.1的近似值，要求先论证收敛性。当5110nnxx时停止迭代。三．用最小二乘法确定21yabxx中的常数a和b，使该曲线拟合于下面的四个点（1，1.01）（2，7.04）（3，17.67）（4，31.74）（计算结果保留到小数点后4位）四．用乘幂法求矩阵A的按模最大的特征值1的第k次近似值()1k及相应的特征向量1x，要求取初值0(1,1,1)Tu且()(1)31110kk这里A=512101613五．考察用高斯赛德尔迭代法解方程组1231231239268888xxxxxxxxx收敛性，并取(0)(1,0,0)Tx，求近似解(1)kx，使得(1)()310kkiixx（i=1，2，3）六．已知单调连续函数()yfx的如下数据1.120.001.802.20()1.100.500.901.70iixfx用插值法求方程()0fx在区间（0.00，1.80）内根的近似值。（小数点后至少保留4位）七．设有积分104dxIx取5个等距节点（包括端点），列出被积函数在这些节点上的函数值表（小数点后至少保留4位）用复化的simpson公式求该积分的近似值，并且由截断误差公式估计误差大小。八．给定初值问题'0(0)0xyyy11.4x写出Euler预估校正格式取步长为0.2，计算在1.4处的函数的近似值。九．设矩阵A对称正定，考虑迭代格式(1)()(1)()2kkkkxxxxAb0,0,1,2,3...k对任意的初始向量(0)(1),kxx是否收敛到Axb的解，为什么？计算方法2006-2007第二学期1填空1）.近似数0142.0*x关于真值0139.0x有__为有效数字。2）适当选择求积节点和系数，则求积公式)()(111knkkxfAdxxf的代数精确度最高可以达到______次.3）设近似数0235.0*1x，5160.2*2x都是四舍五入得到的，则相对误差)(*2*1xxer的相对误差限______4)近似值5**xy的相对误差为)(*xer的____倍。5）拟合三点A(0,1),B(1,3)，C(2,2)的平行于y轴的直线方程为_____.2.用迭代法求方程0222xxexex在（-1，0）内的重根的近似值1nx。要求1）说明所用的方法为什么收敛；2）误差小于410时迭代结束。3．用最小二乘法确定xbaxyln2中的a和b，使得该函数曲线拟合于下面四个点(1.0,1.01),(1.5,2.45),(2.0,4.35),(2.5,6.71)(计算结果保留到小数点后4位)4设函数有二阶连续导数，在一些点上的值如下写出中心差分表示的二阶三点微分公式，并由此计算)1.1(''f。5已知五阶连续可导函数)(xfy的如下数据ix01)(ixf01)('ixf01)(''ixf0试求满足插值条件的四次多项式).(xp6设有如下的常微分方程初值问题1)1(4.11,yxyxdxdy1）写出每步用欧拉法预估，用梯形法进行一次校正的计算格式。2）取步长0.2用上述格式求解。7设有积分dxeIx6.0021）取7个等距节点（包括端点），列出被积函数在这些点出的值（保留到小数点后4位）2）用复化simpson公式求该积分的近似值。8用LU分解法求解线性代数方程组ix1.01.11.2)(ixf0.010.110.24731395222211212032114321xxxx9当常数c取合适的值时，两条抛物线cxxy2与xy2就在某点相切，试取出试点3.00x，用牛顿迭代法求切点横坐标。误差小于410时迭代结束。参考答案；1:(1)2,(2)2n-1(3)2.1457*10E-3（4）1/5(5)x=12解：将方程变形为0)(2xex即求0xex在（-1，0）内的根的近似值1nx牛顿迭代格式为nnxxnnneexxx11收敛性证明；局部收敛定理结果56714.04x。3用最小二乘法正则方程组为1586.1048446.141165.986.6541165.9125.61aba解得a=1.0072;b=0.45634．解推导中心差分格式))(2)(((1)(12021''xfxfxfhxf得到3)1.1(''f5解3432).(xxxp截断误差23)5()1(!5)()(xxfxR64.1)4.1(;2.1)2.1(yy70.68058（0101）9解两条曲线求导12'xy和21'xy切点横坐标一定满足12x=21x将等式变形为144)(23xxxxf牛顿迭代法结果为0.34781