计算机在材料科学与工程中的应用ch08蒙特卡罗方法

第八章蒙特卡洛方法蒙特卡罗方法又称统计模拟(StatisticalSimulation)方法，它用随机数对问题的概率模型进行数值模拟从而获得问题的解。NicholasMetropolis(1915-1999)Monte-Carlo,Monaco•是由Metropolis在二次世界大战期间提出的：Manhattan计划，研究与原子弹有关的中子输运过程；•MonteCarlo是摩纳哥（monaco)的首都，该城以赌博闻名亦称统计模拟方法，statisticalsimulationmethod利用随机数进行数值模拟的方法第一节掷针实验（蒲丰实验）为了求得圆周率π值，在十九世纪后期，有很多人作了这样的试验：将长为2l的一根针任意投到地面上，用针与一组相间距离为2a（l＜a）的平行线相交的频率代替概率P，再利用准确的关系式：alP2求出π值)(22nNalaPl其中Ｎ为投计次数，n为针与平行线相交次数。这就是古典概率论中著名的蒲丰问题。一些人进行了实验，其结果列于下表：实验者年份投计次数π的实验值沃尔弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553福克斯(Fox)189411203.1419拉查里尼(Lazzarini)190134083.1415929设针投到地面上的位置可以用一组参数（x,θ）来描述，x为针中心的坐标，θ为针与平行线的夹角，如图所示。针在平行线间的位置任意投针，就是意味着x与θ都是任意取的，但x的范围限于［0，a］，夹角θ的范围限于［0，π］。在此情况下，针与平行线相交的数学条件是x≤l·sinθNnaladlP2sin0则投针N次，相交次数为n，则相交的概率为：)(22nNalaPl说明：1，用随机方法可以解决一些比较难于用确定性方法解决的问题。2，随机方法要达到一定的精度，所耗时间较长。3，用随机方法计算，一个关键的问题是随机数的取得。第二节[0,1]区间均匀分布的随机数]1,0[是蒙特卡罗方法研究的一个重要内容。如果得到[0,1]区间均匀分布的随机数，则任何区间[a,b]之内的随机数都可以得到：abaR随机数的要求：1，足够多个随机数能遍布[0,1]范围，非周期性，遍历性。2，在[0,1]中每个小区间出现的机会相等，等概率性。并不是一个简单的问题。stdlib.h里面的random()函数可以在低精度的情况下使用。随机数表为了产生随机数，可以使用随机数表。随机数表是由0，1，…，9十个数字组成，每个数字以0.1的等概率出现，数字之间相互独立。这些数字序列叫作随机数字序列。如果要得到n位有效数字的随机数，只需将表中每n个相邻的随机数字合并在一起，且在最高位的前边加上小数点即可。例如，某随机数表的第一行数字为7634258910…，要想得到三位有效数字的随机数依次为0.763，0.425，0.891。因为随机数表需在计算机中占有很大内存，而且也难以满足蒙特卡罗方法对随机数需要量非常大的要求，因此，该方法不适于在计算机上使用。物理方法产生随机数用物理方法产生随机数的基本原理是：利用某些物理现象，在计算机上增加些特殊设备，可以在计算机上直接产生随机数。这些特殊设备称为随机数发生器。用来作为随机数发生器的物理源主要有两种：一种是根据放射性物质的放射性，另一种是利用计算机的固有噪声。用物理方法产生的随机数序列无法重复实现，不能进行程序复算，给验证结果带来很大困难。而且，需要增加随机数发生器和电路联系等附加设备，费用昂贵。因此，该方法也不适合在计算机上使用。在计算机上产生随机数最实用、最常见的方法是数学方法，即用如下递推公式：伪随机数,2,1),,,,(11nTknnnkn经常使用的是k=1的情况，其递推公式为：)(1nnT用数学方法产生的随机数，存在两个问题：1,递推公式和初始值确定后，整个随机数序列便被唯一确定。不满足随机数相互独立的要求。2,由于随机数序列是由递推公式确定的，而在计算机上所能表示的[0，1]上的数又是有限的，因此，这种方法产生的随机数序列就不可能不出现无限重复。对于k=1的情况，只要有一个随机数重复，其后面的随机数全部重复，这与随机数的要求是不相符的。由于这两个问题的存在，常称用数学方法产生的随机数为伪随机数。利用计算机产生随机数的方法：1，乘方取中法：设x0为一个4s位数。把x02截头去尾，只保留中间2s位，作为数列的下一个数x1。对于十进制：ssnnxMODx22110,10——MOD是求余数运算。则[0,1]区间的随机数为：snnxr21110缺点：a,周期较短，b,所得序列有向小端偏移的倾向。2,乘同余法对于xi-1，乘积λxi-1除以M后余数为xiMxMODxii,1Mxrii/其中x0,λ,M为选定的常数，例如：x0=1,λ=513,M=242等。得到的周期T≈2×1010，基本满足一般需要。随机数的检验：目的：确认它在[0,1]区间内部均匀分布的可靠程度。主要有四个方面。a,均匀性检验：把[0,1]区间分成m个子区间，统计{ξi}落入第j个子区间的个数nj，若分布均匀，则{ξi}落入各子区间的几率相同，均为：mPj1),...,2,1(mjb,独立性检验：考虑随机数应该是前后独立的，通常考虑它们的相关系数等于0。c,组合规律性检验：将N个随机数按一定的规律组合起来，则各种组合的概率分布不相关。d,无连贯性检验：把数按大小分成两类，要求各类数的出现没有连贯现象。第三节蒙特卡罗方法应用举例优点：1,用该方法，程序结构简单。2,收敛速度与问题的维数无关，可用简单思路处理复杂问题。缺点：速度一般较慢。根据以上特点，本节介绍下面的例子：1，计算经过多次统计而得到的概率。2，计算定积分，特别是高维积分。3，可应用于解方程和方程组。赌徒的概率问题：赌场中，长期以来赌徒认为：3个骰子扔出9点和10点的几率是相同的。理由：9点和10点都有6种组合。长期下去，发现似乎有不同。试通过蒙特卡罗方法，设计一种计算机算法，来讨论这个问题。333432441522531621:9442433532541622631:10用蒙特卡罗方法计算，模拟投掷20万次。随机数产生函数设定为C语言中的random()，所得到的结果为：9点概率：0.11435；10点概率：0.12785.醉汉回家（随机行走问题）：在热力学问题中抽象出一个模型：一个粒子，每一步向左和向右的概率均为0.5。问：1，走100步以后，在原位置右边50步处的概率多大?2，在原位置右边50步～100步处的概率有多大？……思考：利用蒙特卡罗方法设计一种算法来计算上述问题。计算定积分：badxxfI)(在[a,b]区间内选定大量（N个）随机数xi，并计算出相应的f(xi)，则有：NiixfNabI1)(1)(推广后即可计算二重积分：dcbadyyxfdxD),(在[a,b]选N个xi，在[c,d]选N个yiNiNjjiyxfNcdabD112),(1))((优点：方法简单易懂。程序简单（只需进行简单求和运算，做平均即可）。可直接推广至高维定积分。解非线性方程组：0),...,,(0),...,,(0),...,,(21212211nnnnxxxfxxxfxxxf构造目标函数：NiniiiixxxfXQ1212),...,()(确定各自变量的取值域，bax,在取值域内选取随机变量，直到目标函数Qε。最后得到的一组随机变量(x1,x2,...,xn)，就是方程的解。