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今年在某次物理竞赛中忘了带计算器，需要计算开立方。当时不知道怎么笔算，所以只好一位一位地试。因此，我便想研究出一种开立方的笔算方法（我知道现在有，但是苦于找不到，所以只好自己来了）。在刚开始研究是我不知道该如何入手，所以就去找了初二时候的代数书，里面有开平方笔算法和推导过程。它是这么写的：在这里，我“定义”a^b=a的b次方。(10a+b)^2=100a^2+20ab+b^2=100a^2+b(20a+b)a代表的是已经计算出来的结果，b代表的是当前需要计算的位上的数。在每次计算过程中，100a^2都被减掉，剩下b(20a+b)。然后需要做的就是找到最大的整数b'使b'(20a+b')=b(20a+b)。因此，我就照着书里的方法，推导开立方笔算法。(10a+b)^3=1000a^3+300a^2*b+30a*b^2+b^3=1000a^3+b[300a^2+b(30a%2笔算开立方一天，我遇到了一道需要用到310的近似值的物理题。我没带计算器或《中学数学用表》，只好逐个计算一些数的立方，并与10比较，好不容易才把小数点后第二位数字确定下来。这促使我寻求笔算开立方的方法。笔算开平方的方法我是掌握的。我想笔算开立方的方法应该与它有些关联，不妨先把笔算开平方的主要步骤回忆一下：1．将被开方数的整数部分从个位起向左每两位分为一组；2．根据最左边一组，求得平方根的最高位数；3．用第一组数减去平方根最高位数的平方，在其差右边写上第二组数；4．用求得的最高位数的20倍试除上述余数，得出试商。再用最高位数的20倍与试商的和乘以试商，若所得的积不大于余数，试商就是平方根的第二位数，若大于，就减小试商再试。5．用同样方法继续进行下去。类似地，若要写出笔算开立方的法则，显然第1步中的“两”应改为“三”，第2、3步中的“平”应改为“立”，而第5步不变化。关键是第4步如何进行。当天晚上，我想到完全平方公式是(a+b)2=a2+2ab+b2，完全立方公式是(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3。于是我猜想“20倍”应该与“2ab”有关。我先后想出了几种可能的方法，经检验，都是行不通的。那么我有必要分析笔算开平方的本质。以两位数ab为例，2ab=(10a+b)2=100a2+20ab+b2。这里a代表平方根的最高位数，b代表试商。事实上，100a2已在第3步里被减去了。那么剩下的就是20ab+b2，即(20a+b)·b，也就是“求得的最高位数的20倍与试商的和再乘以试商”。这样，如果被开方数是(10a+b)2，那么最后所得的余数恰好为零；如果被开方数比(10a+b)2大，就把10a+b看作a继续进行下去。同样的道理，这个法则对多位数、一位数和小数也适用。类似地，(10a+b)3=1000a3+300a2b+30ab2+b3，其中1000a3在开立方法则第3步里被减去了。那么我就应该把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积，求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式的左边，用第3步所得余数减去它们的和。举几个简单的例子验证一下：(300=12×300×1(600=12×300×2(1200=22×300×1)30=1×30×12120=1×30×2260=2×30×121=13)8=23)1=13)为了进一步验证这种方法的正确性,我求出了310的近似值,并与计算器的结果进行比照:(为了书写简便,我把10.000……后面的“0”省略了。)用这种方法算出10的立方根约等于2.1544，而计算器的结果是2.1544347，这说明求出的结果是正确的。现将笔算开立方的方法总结如下：1．将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组；2．根据最左边一组，求得立方根的最高位数；3．用第一组数减去立方根最高位数的立方，在其右边写上第二组数；4．用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数，得出试商；并把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边，观察其和是否大于余数，若大于，就减小试商再试，若不大于，试商就是立方根的第二位数；5．用同样方法继续进行下去。这种方法肯定早就有人发明了。其运算量相当大，实用价值也不高。但我毕竟是独立地发现了它。虽然欣喜无法与发现新大陆相比，但这至少使我体验到在数学世界中探索的快乐。此后不久，我居然发现这种方法在期中考试中发挥了作用──期中考试物理试卷中有这样一道题：“神舟”三号飞船的运行周期约是91分钟，地球半径约是6370㎞，求飞船的轨道高度（以km为单位，保留两个有效数字）。这道题并不难。根据所学知识，我很快就列出方程，并求出了结果的表达式。经过近似计算和约分、化简，结果大约是(10003300-6370)㎞。我想大多数同学能够算到这里，而对于3300就束手无策了。但它难不倒我。我运用了笔算开立方的方法。由于法则是自己总结的，所以记得很牢，用起来也得心应手。很快，我求出3300≈6.7，最终结果约是3.3×102㎞。严格地说，这个答案是不可靠的。要保证最终结果的第二个有效数字准确，应该把3300计算到百分位。但因时间有限，且300这个数本身就是不准确的，我只好这样写。后来我看到答案，知道我的结果是正确的。我感到高兴，因为我自己发现并总结出的规律在考试中得到应用。我觉得这种笔算开立方的方法不能为大家所知似乎是个遗憾。但它的应用似乎仅限于这类由周期求轨道半径的物理题，除此之外，别的意义很是寥寥。换言之，这种方法仅是雕虫小技而已。然而探索的过程使我体会到初步的数学研究方法，或许将有更大的意义──因为“对真理的探求比对真理的占有更为可贵”。举例说明:17开立方.首先求17以内的最大立方数为2^3=8,17-8=9,在9的后面加上三个0,9000在9000范围内,设立方根的第二位是A,则用2A*A*2*30+A^3,此算式不9000,A=5,及立方根的第二位是5用9000-7625=1375,在1375后面加上三个0来求立方根的第三位,设第三位是B,则用25B*25*B*30+B^3,则B=7,及1375000-1349593=25407,依此类推,求第四位的算式是257C*257*C*30+C^3,可以算出C=1,及25407000-19822411=5584589,在往下5584589000求第五位.17立方根的1前四位是2.571。2571D*2571*D*30+D^3,D=2=======================================================徒手开n次方根的方法:原理:设被开方数为X,开n次方,设前一步的根的结果为a,现在要试根的下一位,设为b,则有:(10*a+b)^n-(10*a)^n=c(前一步的差与本段合成);且b取最大值用纯文字描述比较困难,下面用实例说明:我们求2301781.9823406的5次方根:第1步:将被开方的数以小数点为中心,向两边每隔n位分段(下面用'表示);不足部分在两端用0补齐;23'01781.98234'06000'00000'00000'..........从高位段向低位段逐段做如下工作:初值a=0,差c=23(最高段)第2步:找b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n=c,即b^5=23,且为最大值;显然b=1差c=23-b^5=22,与下一段合成,c=c*10^n+下一段=22*10^5+01781=2201781第3步:a=1(计算机语言赋值语句写作a=10*a+b),找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n=c,即:(10+b)^5-10^5=2201781,b取最大值8,差c=412213,与下一段合成,c=c*10^5+下一段=412213*10^5+98234=41221398234第4步:a=18,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n=c,即:(180+b)^5-180^5=41221398234,b取最大值7说明:这里可使用近似公式估算b的值:当10*ab时,(10*a+b)^n-(10*a)^n≈n*(10*a)^(n-1)*b,即:b≈41221398234/n/(10*a)^(n-1)=41221398234/5/180^4≈7.85,取b=7以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值差c=1508808527;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=1508808527*10^5+06000=150880852706000第5步:a=187,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n=c,即:(1870+b)^5-1870^5=150880852706000,b取最大值2,差c=28335908584368;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=2833590858436800000第6步:a=1872,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n=c,即:(18720+b)^5-18720^5=2833590858436800000,b取最大值4,差c=376399557145381376;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=37639955714538137600000.............................最后结果为:18.724......=======================================================开立方百科名片求一个数的立方根的运算法，叫做开立方。最早在我国的九章算术中有对开立方的记载。笔算开立方的方法方法一1．将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组；2．根据最左边一组，求得立方根的最高位数；3．用第一组数减去立方根最高位数的立方，在其右边写上第二组数；4．用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数，得出试商；并把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边，观察其和是否大于余数，若大于，就减小试商再试，若不大于，试商就是立方根的第二位数；5．用同样方法继续进行下去。方法二第1、2步同上。第三步，商完后，落下余数和后面紧跟着的三位，如果后面没有就把余数后面添上三个0；第四步，将要试商的数代入式子“已商数×要试商数×（10×已商数+要试商数）×30+要商数的立方”，最接近但不超过第三步得到的数者，即为这一位要商的数。然后重复第3、4步，直到除尽。编辑本段开方算法的历史记载九章算术《九章算术》中讲了开平方、开立方的方法，而且计算步骤和现在的基本一样．所不同的是古代用筹算进行演算，现以少广章第12题为例，说明古代开平方演算的步骤，“今有积五万五千二百二十五步．问为方几何．”“答曰：二百三十五步．”这里所说的步是我国古代的长度单位。开立方原文开立方〔立方适等，求其一面也。〕术曰：置积为实。借一算，步之，超二等。〔言千之面十，言百万之面百。〕议所得，以再乘所借一算为法，而除之。〔再乘者，亦求为方幂。以上议命而除之，则立方等也。〕除已，三之为定法。〔为当复除，故豫张三面，以定方幂为定法也。〕复除，折而下。〔复除者，三面方幂以皆自乘之数，须得折、议，定其厚薄尔。开平幂者，方百之面十；开立幂者，方千之面十。据定法已有成方之幂，故复除当以千为百，折下一等也。〕以三乘所得数，置中行。〔设三廉之定长。〕复借一算，置下行。〔欲以为隅方。立方等未有定数，且置一算定其位。〕步之，中超一，下超二等。〔上方法，长自乘而一折，中廉法，但有长，故降一等；下隅法，无面长，故又降一等也。〕复置议，以一乘中，〔为三廉备幂也。〕再乘下，〔令隅自乘，为方幂也。〕皆副以加定法。以定法除。〔三面、三廉、一隅皆已有幂，以上议命之而除，去三幂之厚也。〕除已，倍下，并中，从定法。〔凡再以中、三以下，加定法者，三廉各当以两面之幂连于两方之面，一隅连于三廉之端，以待复除也。言不尽意，解此要当以棋，乃得明耳。〕复除，折下如前。开之不尽者，亦为不可开