累加弦长参数样条曲线

累加弦长参数样条曲线给定n个点及对应的法向量，若用多项式拟合，必须求解1n个线性方程组，计算复杂，并且点越多，次数越高，系数01,,naaa越多，物理概念难于理解，会产生不希望有的波动。因此采用分段低次多项式来拟合曲线。因为分段三次插值能保证位置连续，斜率连续，曲率连续，所以采用三次样条插值，即对于任意两个相邻的点，他们之间的曲线方程为320123yaxaxaxa。然而，对于x不满足01nxxx（例如当曲线绕回或打圈时），函数会出现多值，使问题复杂化。特别是，三次样条是模拟小挠度的弹性梁的形变而得到的数学工具。对于大挠度曲线，即有近于垂直切线的曲线(无论是平面曲线或空间曲线)，采用三次样条插值的效果不好，会产生剧烈的波动，因为它违背了小挠度的假定。此外，它还有一个严重的缺点，就是用三次样条函数表示的插值曲线，依赖于坐标系的选择，缺乏几何不变性，与曲线的几何特征相脱节。因此我们采用累加弦长参数样条曲线。与点对应的累加弦长为：00s22111010()()slxxyy222221210102121()()()()sllxxyyxxyy111kkkiiiiislpp分别作插值函数()xxs()yys它们有()iixsx，()iiysy，在0[,]nss上二次连续可导，都是s的分段三次多项式。在得到两个插值函数之后即可对任一s值插值得出相应的x值与y值，从而构造出一条插位点列(,)iiipxy的曲线，由于()xxs与()yys都是二阶连续的三次样条曲线，因此，所得到的参数样条曲线也是二阶连续的，具有连续的斜率与曲率。对于端点条件的换算，已知曲线的斜率值，换算成对s的求导，dyyydxx，因此2222222111yxyyxxx2221yxy221yyy特别当曲线端点有垂直切线时，由于yyx，因此0x，1y，当曲线端点有水平切线时，1x，0y。推广到任意坐标系要使得在平面上任意一条曲线都能采用累加弦长参数样条拟合，则可对直角坐标系做平移与旋转变换，如图。已知光源点S，曲线上的两点,AB，求曲线在XOY坐标系上的方程。思路：1、根据光源点S，曲线上的两点,AB确定另一个焦点T2、由S与T确定新的坐标系XOY，得到转移矩阵C3、求出,AB点在XOY下的坐标与法向量4、将XOY下的坐标用XOY下的坐标表示，得到XOY坐标下的方程。确定焦点的方法已知曲线为椭圆曲线，已知光源与两点及两点的法向量，求曲线的另一个焦点，可以采用如下方法。因为该点的法向量是由光源与另一个焦点确定的，因此可以对S根据A的法向量做轴对称得到S，连接AS，对B进行同样的变换，连接BS，然后解方程组求得焦点。求转移矩阵将XOY平移00(,)xy，再旋转之后，原坐标(,)xy变成(,)xy，转移公式为00cossinsincosxxyxyxyy同理，(,)xy变成(,)xy的转移公式为0000()cos()sin()sin()cosxxxyyyxxyy