级数课件(2014最新版本).

1/24常数项级数的概念与性质第一节常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、收敛级数的基本性质三、收敛级数的必要条件2/24常数项级数的概念与性质一、常数项级数的概念123aaa正二十四边形：＋12aa正十二边形：＋123nAaaaa圆：＋引例求圆的面积1a正六边形：12332nnaaaa正边形：＋123nAaaaa圆：＋3/24常数项级数的概念与性质nnnuuuuu3211(常数项)无穷级数一般项如;1031003103n;1)1(41312111nn.)1(11111n以上均为(常)数项级数.(1)1.级数的定义4/24常数项级数的概念与性质这样,级数(1)对应一个部分和数列:nnuuus21,11us,212uus,3213uuus,21nnuuus,部分和.niiu12.级数的收敛与发散概念5/24常数项级数的概念与性质定义,无限增大时当n,ssn有极限数列,1收敛nnu.1的和叫做级数这时极限nnusnuuus21,没有极限如果ns.1发散则称无穷级数nnu的部分和如果级数1nnulim,nnss即则称无穷级数并写成6/24常数项级数的概念与性质nnssr21nnuu1iinu0limnnr对收敛级数(1),为级数(1)的余项或余和.显然有当n充分大时,nnnuuuuu3211(1)称差ssn误差为||nr7/24常数项级数的概念与性质级数与数列极限的密切关系：,11us,212uus,3213uuus,21nnuuus,11{}:ninnniusu给定级数，就有部分和数列{},{}nnss反之，给定数列就有以为部分和数列的级数：121213211121()()()()nnnnnnnnuuussssssssssu＋111{}limlimnnnnnnnniniusuus由定义，级数与数列同敛散，且收敛时=＝8/24常数项级数的概念与性质例12)1(321nnnsn而nnslim所以,n321的部分和级数2)1(limnnn级数发散.9/24常数项级数的概念与性质解时如果1q12nnaqaqaqasqaqan1qaqqan11例2讨论等比级数(几何级数)的收敛性.)0(20aaqaqaqaaqnnn10/24常数项级数的概念与性质,1时当q0limnnqqasnn1lim,1时当qnnqlimnnslim收敛发散时如果1q,1时当q,1时当qnasn发散aaaa不存在nnslim发散综上发散时当收敛时当,1,10qqaqnn级数变为qaqqasnn1111/24常数项级数的概念与性质讨论级数的敛散性.)0(ln31aann解例3因为1ln3nna为公比的等比级数,是以aln故,1时当eae,1|ln|a级数收敛.发散.ea10当,1|ln|a发散时当收敛时当,1,10qqaqnn,时或ea12/24常数项级数的概念与性质解)12)(12(1nnun)121121(21nn)12()12(1531311nnsn)121121(21)5131(21)311(21nn例4判定级数的收敛性.)12()12(1531311nn13/24常数项级数的概念与性质)1211(21limlimnsnnn)1211(21nsn21,级数收敛即21s.21和为14/24常数项级数的概念与性质例512nnn因为nnns223222132ns2后式减前式,得nnnnnnns2)212()2223()2122(11122nnn2212121112证证明级数并求其和.收敛,12223221nnnnn221121115/24常数项级数的概念与性质nnnns2211211故nnsslim所以,此级数收敛,nnn22121且其和为2.)2212(lim1nnnn216/24常数项级数的概念与性质性质1设常数,0k则11nnnnkuu与有相同的敛散性.二、收敛级数的基本性质性质2,11nnnnvu与设有两个级数,1sunn若,1nnv.)(1svunnn则1nnu若1nnv)(1nnnvu则发散.,1nnu若收敛,发散,1nnv均发散,)(1nnnvu则敛散性不确定.17/24常数项级数的概念与性质性质3添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性.性质41nnu设级数收敛,则对其各项任意加括号所得新级数仍收敛于原级数的和.①一个级数加括号后所得新级数发散,则注原级数发散.)11()11(例如1111收敛发散②一个级数加括号后收敛,原级数敛散性不确定.18/24常数项级数的概念与性质0limnnu证1nnusnunnulimss0级数收敛的必要条件因为则所以1limlimnnnnss1nnss三、收敛级数的必要条件19/24常数项级数的概念与性质注①级数收敛的必要条件,常用判别级数发散;②也可用它求或验证极限为“0”的极限;③必要条件不充分.0limnnu有n131211如调和级数但级数不收敛20/24常数项级数的概念与性质例6判别下列级数的敛散性11(1)sinnnn11ln3(2)33nnnn1sin1.1limsinlim10,1/.nnnnnn解（）因为所以级数发散21/24常数项级数的概念与性质11ln3(2)33nnnn解11nn131nn而级数33lnr33ln||r所以这个等比级数133ln31nnnn发散.由性质2知,由性质1知,发散.因调和级数发散,为公比的等比级数,133lnnnn是以1收敛.22/24常数项级数的概念与性质四、小结•级数概念（形式定义）•级数敛散性（部分和数列的收敛性）判断敛散性，收敛时求和•级数收敛性质•级数收敛的必要条件23/24常数项级数的概念与性质第二、常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛四、小结五、作业24/24常数项级数的概念与性质1.定义1nnu正项级数nsss212.收敛的充要条件单调增加数列这时,只可能有两种情形:.nsssnnlim,)1(时当n.1必发散级数nnu,}{)2(有上界若ns)(正常数即ns0nu一、正项级数及其审敛法25/24常数项级数的概念与性质正项级数收敛部分和所成的数列ns有界.定理1(基本定理)26/24常数项级数的概念与性质例1.判定的敛散性.1121nn解121n1211211212nnSn2121212n211由定理1知,故级数的部分和,21n1该正项级数收敛.由于27/24常数项级数的概念与性质定理2,0nnuv若则1nnv收敛1nnu收敛1nnu发散1nnv发散0(),nnuCvnN比较条件改为结论依然成立.注：3.比较审敛法比较审敛法的不便:须有参考级数.28/24常数项级数的概念与性质解,1p设级数则p(1)nnp11用比较审敛法发散.11npn例2.讨论级数ppppn131211的收敛性.)0(p29/24常数项级数的概念与性质)11(1111pnp111p,有界即ns级数则p收敛.11npn)1(p,1p设pn1pppnns131211nnppxxxx121dd1(2)nnpxx1dnnpnx1d1d1npxx,,11pp当时当时发散收敛综上:p-级数11npn30/24常数项级数的概念与性质常用的比较级数1,1,qq当时收敛当时发散发散时当收敛时当,1,1pp(2)p-级数11npn(3)调和级数nnn13121111发散(1)几何级数0nnaq31/24常数项级数的概念与性质解因为3)1(1nnun3211n而132)1(1nn是发散的p-级数.所以,原级数nn321正项级数及其审敛法311(1)nnn发散时当收敛时当级数,1,1ppp,11npn发散.2由比较审敛法例3.32/24常数项级数的概念与性质,11都是正项级数与设nnnnvu如果,limlvunnn则,0)1(时当l,0)2(时当l,)3(时当l定理3,1收敛若nnv;1收敛则nnu,1发散若nnv.1发散则nnu两级数有相同的敛散性;4.比较审敛法的极限形式33/24常数项级数的概念与性质解)1(nnn31limnn1sinlim1)2(nnn311lim1,311收敛nn收敛发散n31例4判定下列级数的敛散性11sin)1(nn131)2(nnn比较审敛法的极限形式,n134/24常数项级数的概念与性质211.ln(1).nn例5判定级数的敛散性221.limln(1)nnn解221lim1nnn211ln(1)21,npn而收敛.35/24常数项级数的概念与性质.cos1)1(1的敛散性判定级数nn解nncos1lim而级数2121nn122121nn收敛故级数1cos1nn12cos12xx～0x收敛.级数的pp22n236/24常数项级数的概念与性质.ln)2(12的敛散性判定级数nnn解2lnlimnnn231nnnnlnlim0而级数收敛,1231nn.ln12收敛故nnn37/24常数项级数的概念与性质5.比值审敛法(D’Alembert判别法)证,0对,N,时当Nnnnuu1有定理5,1nnu设nnnuu1lim,1时)(1Nnuunn即(1)正项级数及其审敛法收敛发散)0(nu方法失效1nnu1nnu111达朗贝尔,1717–1783,法国数学家、力学家、哲学家38/24常数项级数的概念与性质1,1NNruu23NNruu,.,1nnu收敛级数因此也收敛.由(1)式的,3Nur12NNruu,2Nur321NNNuuu级数左边相加,的各项小于右边相加收敛的等比级数)1(r公比NNNururru32的对应项,所以321NNNuuu得)(1Nnuunn(1)正项级数及其审敛法r使右边,39/24常数项级数的概念与性质,1时当,1取,1r使,时当Nn,1nnnuruunnu