数学归纳法(市公开课)

2.3数学归纳法从前有个财主，请来一位先生教儿子识字。先生写一横，告诉他的儿子是“一”字；写两横，告诉是个“二”字；写三横，告诉是个“三”字。学到这里,儿子就告诉父亲说：“我已经会了，不用先生再教了。”于是，财主很高兴，把教书先生给辞退了。有一天，财主要请一位姓万的朋友，叫儿子写请帖。可是老半天不见儿子写好，他就去催儿子。儿子抱怨说：“你不识字，不知道写字有多难。此人姓万，我手都写酸了，才刚刚写完三千横！”讲故事归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理。情境导入,11a•••*)(1Nnnan猜想：计算:414=a?.1,1,11nnnnnaaaaaa问：若问题：对于数列不完全归纳法,717a•••验证:,515a,616a逐一验证，不可能！情境导入,212a,313a后面是否成立？•••看看下面的动画对我们解决问题有什么启示？人体多米诺骨牌问：多米诺骨牌全部倒下，必须具备哪两个条件？(1)第一块骨牌倒下；(2)前一块倒下必导致后一块倒下。条件(2)给出了一个递推关系，若第K块倒下，则相邻的第K+1块也倒下.课题探究（1）第1块骨牌倒下。(1)当n=1时，验证猜想正确。（2）如果第k块倒下时，一定能导致第k+1块也倒下。(2)如果n=k时猜想成立根据(1)和(2)，可知不论有多少个骨牌都能全部倒下。根据(1)和(2)，可知对所有的正整数n，猜想都成立。）（*kN一定能推出当n=k+1时猜想也成立kak1111kak课题探究多米诺骨牌游戏原理通过有限个步骤的推理，证n取所有正整数都成立.1,1,11nnnnaaaaa若对于数列nan1求证：分析:正确。,1111akak1111kak1(1)当n=1时，(2)若111a212a414a212a313a313a414a)(*Nn515a两个步骤可推出n取所有正整数都成立！.1,1,11nnnnaaaaa若对于数列*).(1Nnnan求证：证明:命题成立。,1111==a,1kakkkaa1kk11111k1ka（依据）1(1)当n=1时，(2)假设当n=k时，命题成立,即当n=k+1时，既当n=k+1时，命题成立..*)(1成立Nnnan由(1)(2)知，归纳递推（结论）验证n=n0时命题成立方法归纳若n=k(k≥n0)时命题成立n=k+1时命题也成立命题对所有的正整数n(n≥n0)都成立。归纳奠基归纳递推两个步骤，一个结论。结论小组讨论用数学归纳法证明：1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)(nN*)1.当n＝1时，左边=；1+2+31+2+3+4+53.当n＝k时，左边=.2.当n＝2时，左边=.1+2+…+(2k+1)4.当n＝k+1时，此时左边比n=k时多了几项？.1+2+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3)当n＝k+1时，左边=.(2k+2)，(2k+3)巩固练习用数学归纳法证明：21122221.nn(nN*).1,1,11nnnnaaaaa若对于数列*).(1Nnnan求证：证明:命题成立。,1111==a,1kakkkaa1kk11111k1ka（依据）1(1)当n=1时，(2)假设当n=k时，命题成立,即当n=k+1时，既当n=k+1时，命题成立..*)(1成立Nnnan由(1)(2)知，归纳递推（结论）用数学归纳法证明：证明：当n=k+1时（2）假设当n＝k(kN*)时，等式成立，即（1）当n=1时，(nN*)左边=等比数列求和！=右边，即当n=k+1时等式也成立。根据(1)和(2)可知，等式对任何nN*成立。错解！错因:没有用到假设！评讲练习左边＝1，右边＝1，等式成立。21122221nn21122221kk211222k2k11(12)12k121k能力提升问题：*)nNn2讨论2与n的大小（n=12n2计算当，，,8时2与n的值，比较它们的大小你能得到什么猜想？注意：在第一步中的初始值不一定从1取起,证明应根据具体情况而定.,1221,2222,3223,4224,5225,6226,72272882猜想：恒成立？时，当225nnn用数学归纳法证明，理解新知问题：初始值从取起.5计算：求证：).(25*2Nnnnn时，当2,5225证明：时，当5)1(n命题成立。时，假设)5,()2(*kNkkn命题成立，.22kk即时，当1kn12k左边22k22k,22k,12）（右边k22)1(2kk)12(222kkk122kk2)1(2k2420,)1(221kk,1时即kn命题成立。,)2)(1(知由).(25*2Nnnnn时，当大于?222(1)kk证明目标课堂小结布置作业：《课时训练》第19页第1至10题1.数学归纳法能够解决哪一类问题？用于证明某些与正整数有关的数学命题。2.数学归纳法证明命题的步骤？(1)证明当n取第一个值(初始值)时结论正确；(2)假设当n取k时结论正确，推导n取k的下一个值时结论也正确.3.数学归纳法证明命题的关键？在第二步推导中归纳假设要用到。4.数学归纳法体现的核心思想？递推思想，用“有限”的推理，解决“无限”的问题。再见