高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义

育英教育—相信就会有奇迹1Ⅰ复习提问一一、、直直线线l与圆锥曲线C的位置关系的判断判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程0AxByC（A，B不同时为0）代入圆锥曲线C的方程F（x，y）=0，消去y（也可以消去x）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立0(,)0AxByCFxy消去y后得20axbxc（1）当0a时，即得到一个一元一次方程，则l与C相交，有且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l抛物线的对称轴平行。（2）当0a时，0，直线l与曲线C有两个不同的交点；0，直线l与曲线C相切，即有唯一公共点（切点）；0，直线l与曲线C相离。二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长22121221212222121221()41141111ABkxxxxAByyyykABkxxkyyak三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)xyabab时，以P00（x,y）为中点的弦所在直线斜率202(0)bkya00xy，即22opbkka；若椭圆方程为22221(0)yxabab时，相应结论为202(0)akyb00xy，即22opakkb；（2）P00（x,y）是双曲线22221xyab内部一点，以P为中点的弦所在直线斜率202(0)bkya00xy，即22opbkka；若双曲线方程为22221yxab时，相应结论为202(0)akyb00xy，即22opakkb；（3））P00（x,y）是抛物线22ypx内部一点，以P为中点的弦所在直线斜率0(0)pky0y；若方程为22xpy时，相应结论为kp0x。直直线线与与圆圆锥锥曲曲线线育英教育—相信就会有奇迹2Ⅱ题型与方法一、直线与圆锥曲线的位置关系（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判断：通法为直线代入曲线判断0；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率大小得到。（2）直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切。例1.已知两点5(1,)4M，5(4,)4N，给出下列曲线方程：①4210xy②22+y=3x③2212xy④2212xy在曲线上存在点P，满足PMPN的所有曲线方程是（填序号）。练1:对于抛物线C：24yx，我们称满足2004yx的点M（00,xy）在抛物线的内部，若点M（00,xy）在抛物线的内部，则直线l：002()yyxx与抛物线C的位置关系是。练2：设抛物线28yx的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有共点点，则直线l的斜率的取值范围是例2.如图所示，在平面直角坐标系xoy中，过y轴正方向上一点C（0，c）（c0）任作一条直线，与抛物线2yx相交于A，B两点，一条垂直于x轴的直线分别与线段AB和直线l：y=-c交于P，Q两点。（1）若2OAOB，求c的值；（2）若p为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线。育英教育—相信就会有奇迹3练1：（12安徽理）如图所示，1(,0)Fc，2(,0)Fc分别是椭圆C：22221(0)xyabab的左右焦点，过1F作直线x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过2F作直线2PF的垂线交直线2axc于点Q，求证：直线PQ与椭圆C只有一个公共点。练2：（14湖北理）在平面直角坐标系xoy中，点M到点F（1,0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C，（1）求点M的轨迹方程；（2）设斜率为k的直线l过定点P（-2，1）分别求直线l与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围。二、中点弦问题例1：已知过点M（12，12）的直线l与椭圆2212xy交于A，B两点，且1()2OMOAOB（O为坐标原点），求直线l的方程。育英教育—相信就会有奇迹4练1：（14江西理）过点M（1,1）作斜率为12的直线与椭圆C：22221(0)xyabab相交于A，B两点，若M是线段AB中点，则椭圆C的离心率等于。练2：已知椭圆方程2212xy。（1）求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；（2）过点P（2,1）的直线l与椭圆相交，求被l截得的弦的中点的轨迹方程。例2：如图所示，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆22142xy，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k，求证：对任意k0,都有PA⊥PB。练1：已知曲线C：2221(0,1)yxmmm，过原点斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意带你k0,都有PQ⊥PH？若存在，求m的值，不存在，说明理由。育英教育—相信就会有奇迹5例3已知椭圆C：22143xy，试确定m的范围，使得对于直线l：y=4x+m，椭圆C上有两个不同的点关于这条直线对称。练1：如图所示，已知椭圆E经过点A（2,3），对称轴为坐标轴，焦点1F，2F在x轴上，离心率12e，（1）求椭圆E的方程；（2）求12FAF的角平分线所在直线l的方程；（3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出，不存在，说明理由。练2：已知A，B，C是椭圆W：2214xy上的三点，O是坐标原点。（1）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形面积；（2）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，说明理由。育英教育—相信就会有奇迹63.已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为12，右焦点为F，右顶点A在圆F：222(1)(0)xyrr上。（1）求椭圆C和圆F的方程。（2）已知过点A的直线l与椭圆C交于另一点B，与圆F交于另一点P，请判断是否存在斜率不为0的直线l，使点P恰好为线段AB的中点，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由。二、弦长与面积问题。在弦长有关的问题中，一般有三类问题：（1）弦长公式（2）与焦点相关的弦长计算，利用定义（3）涉及面积的计算问题例1.过抛物线22(0)ypxp的焦点F作倾斜角为045的直线交抛物线于点A，B两点，若线段AB的长为8，则P为多少？练1：已知椭圆C：2212xy，过椭圆C的左焦点F且倾斜角为6的直线l与椭圆C交于A，B，求弦长AB。练2：已知圆M：227(2)3xy，若椭圆C：22221(0)xyabab的右顶点为圆M的圆心，离心率为22。（1）求椭圆C的方程；(2)已知直线l：ykx，若直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点（其中点G在线段AB上），且AGBH，求k的值。育英教育—相信就会有奇迹7例2：已知椭圆C：2214xy，过点（m，0）作圆221xy的切线l交椭圆G于A，B两点。（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率。（2）将AB表示为m的函数，并求AB的最大值。练1已知椭圆C：22221(0)xyabab经过点3(1,)2M，其离心率为12（1）求椭圆C的方程。（2）设直线l：y=kx+m1()2k与椭圆C相交于A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平形四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点，求OP的取值范围。2.已知椭圆C：22221(0)xyabab的右顶点A（2,0）离心率为32，O为坐标原点。（1）（1）求椭圆C的方程。（2）已知P是（异于点A）为椭圆C上一个动点，过O作线段AP垂线l交椭圆C于点E，D。如图所示，求DEAP的取值范围。育英教育—相信就会有奇迹8例3：已知12,FF是椭圆22143xy的左右焦点，AB是过点1F的一条动弦，求△AB2F的面积最大值。练1：（14新课标理）已知点A（0，-2），椭圆E：22221(0)xyabab的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点。（1）求E的方程；（2）设过点A的直线l与E相交于Ｐ，Ｑ两点，当△ＯＰＱ面积最大时，求l的方程。例４：已知抛物线24yx的焦点为Ｆ，过点Ｆ的直线交抛物线于Ａ，Ｂ两点。（１）若2AFFB，求直线ＡＢ的斜率；（２）设点Ｍ在线段ＡＢ上运动，原点Ｏ关于点Ｍ的对称点Ｃ，求四边形ＯＡＣＢ面积的最小值。练１：（１２北京）在平面直角坐标系ｘｏｙ中，椭圆Ｇ的中点为坐标原点，左焦点为1F（－１,０），Ｐ为椭圆Ｇ上顶点，且145oPFO。（１）求椭圆Ｇ的标准方程（２）已知直线1l：1ykxm与椭圆Ｇ交于Ａ，Ｂ两点，直线2l：2ykxm（12mm）与椭圆Ｇ交于Ｃ，Ｄ两点，且ABCD，如图所示，（１）求证：120mm（２）求四边形ＡＢＣＤ的面积Ｓ的最大值。育英教育—相信就会有奇迹92.(14年湖南理21)如图所示，O为坐标原点，椭圆1C：22221(0)xyabab的左右焦点分别为12,FF，离心率为1e；双曲线2C：22221xyab的左右焦点分别为34,FF，离心率为2e，已知1232ee，且2431FF。（1）求1C，2C的方程（2）过1F作1C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与2C交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值。3.已知抛物线24xy的焦点为F，A,B是抛物线上的两动点，且(0)AFFB。过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。（1）求证：FMAB为定值；（2）设△ABM的面积为S，写出()Sf的表达式，并求S的最小值。三、平面向量在解析几何的应用常见的两个应用（1）用向量的数量积解决有关角的问题，其步骤是:先写出向量坐标式1122(,),(,)axybxy，再用向量数量积的坐标公式121222221122cosxxyyxyxy，当,ab不共线时，有,ab为：直角0ab；钝角0(,)abab且不反向；锐角0(,)abab且不同向（2）利用向量的坐标表示解决共线问题.向量,ab共线的充要条件是=ab或1221xyxy育英教育—相信就会有奇迹101.夹角问题直线l与抛物线22(0)xpyp相交于A，B两点，则：（1）直线l在y轴上的截距等于2P时，0B=90AO（2）直线l在y轴上的截距大于2P时，0B90AO（1）直线l在y轴上的截距大于0且小于2P时，0B90AO。例1：过抛物线22(0)xpyp的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，求证：△ABO为钝角三角形。练1：设A，B分别为椭圆22143xy的左右顶点，P为直线4x上不同于点（4,0）的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于A，B的点M，N.求证：点B在以MN为直径的圆内。练2：已知m1,直线l：202mxmy，椭圆C：2221xym的左右焦点分别为12,FF。（1）当直线l过右焦点2F时，求直线l的方程；（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，△A12,FF和△B12,FF的重心分别为G，H，若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围。育英教育—相信就会有奇迹112.向量共线问题。例1：在平面直角坐标系xoy中，经过点（0，2）且斜率为k的直线l与椭圆2212xy有两个焦点P，Q。（1）求k的取值范围；（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B是否存在常数k，使得向量OPOQ与AB共线？如存在，求k值，不存在说明理由。练1：设椭圆22221(0)xyabab的左右焦点分别为12,FF，离心率22e，直线l：2axc，如图所示，M，N是l上的两个动点，120FMFN，（1）若1225FMFN，