中职数学平面向量复习

1复习模块：平面向量一、知识点（1）平面向量的概念及线性运算平面向量两要素：大小，方向。零向量：记作0，手写时记做0，方向不确定。单位向量：模为1的向量。平行的向量（共线向量）：方向相同或相反的两个非零向量，记作a//b。规定：零向量与任何一个向量平行。相等向量：模相等,方向相同，记作a=b。负向量：与非零向量a的模相等，方向相反的向量，记作a。规定：零向量的负向量仍为零向量。向量加法的三角形法则：如图1，作AB=a,BC=b，则向量AC记作a＋b，即a＋b=AB＋BC=AC，和向量的起点是向量a的起点，终点是向量b的终点．向量加法的平行四边形法则：如图2，在平行四边形ABCD中，AB＋AD=AB＋BC=AC,AC所表示的向量就是AB与AD的和．平行四边形法则不适用于共线向量。向量的加法具有以下的性质：（1）a＋0=0＋a=a；a＋（−a）=0；（2）a＋b=b＋a；（3）（a＋b）＋c=a＋（b＋c）．向量的减法：起点相同的两个不共线向量a、b，a与b的差运算的结果仍然是向量，叫做a与b的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a的终点．如图3。a−b=a+(−b)，设a=OA，bOB，则OAOB=BA向量的数乘运算：数与向量的乘法运算。一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的模为||||||aa，若||a0，则当＞0时，a的方向与a的方向相同，当＜0时，a的方向与a的方向相反．共线向量充要条件：对于非零向量a、b，当0时，有abab∥一aAa-bBbO图3图1ACBaba+bab图2ADCB2般地，有0a=0,0=0.线性组合：一般地，a＋b叫做a,b的一个线性组合．如果l＝a＋b，则称l可以用a，b线性表示．（2）平面向量的坐标表示设点1122(,)(,)AxyBxy，，则起点为11(,)Axy，终点为22(,)Bxy的向量坐标为2121()ABxxyy，．设平面直角坐标系中，11(,)xya，22(,)xyb，则1212(,)xxyyab1212(,)xxyyab11(,)xya由此得到，对非零向量a、b，设1122(,),(,),abxyxy若abab∥当0时，12210abxyxy∥．（3）平面向量的内积向量a与向量b的夹角，记作a,b。ooba180,0,内积的定义：两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，它是一个数量，又叫做数量积．记作a·b,即a·b＝｜a||b|cosa,b结论：（1）cosa,b＝||||abab.（2）当b＝a时，有a,a＝0，所以a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝aa（3）当,90ab时，ab，因此，a·b＝cos900,ab对非零向量a，b，a·b＝0ab.平面向量的内积的坐标表示：设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)a·b＝x1x2＋y1y2夹角公式坐标表示：当a、b是非零向量时，cosa,b＝||||abab＝121222221122xxyyxyxy相互垂直的向量坐标表示：aba·b＝0x1x2＋y1y2＝0．向量的模坐标表示：设a＝(x,y)，则a22xy3二、练习题1．下列命题正确的是（）A.单位向量都相等B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C.若a·b＝0，则a＝0或b＝0D.对于任意向量a、b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|2．如图，四边形ABCD中，AB→＝DC→，则相等的向量是（）A.AD→与CB→B.OB→与OD→C.AC→与BD→D.AO→与OC→3．下列命题中，正确的是（）A.若|a|＝|b|，则a＝bB.若a＝b，则a与b是平行向量C.若|a|＞|b|，则a＞bD.若a与b不相等，则向量a与b是不共线向量4．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量OB→，OC→，OD→，OE→，OF→，AB→，BC→，CD→，EF→，DE→，FA→中与OA→共线的向量有（）A.1个B.2个C.3个D.4个5．若向量a＝（x＋3，x2－3x－4）与AB→相等，其中A（1，2），B（3，2），则x等于（）A.1B.0C.－1D.26．已知a＝（x，y），b＝(－y，x)(x，y不同时为零)，则a，b之间的关系是（）A.平行B.不平行也不垂直C.垂直D.以上都不对7．在四边形ABCD中，AB＝DC，且AC·BD＝0，则四边形ABCD是（）A.矩形B.菱形C.直角梯形D.等腰梯形8．已知向量a=(2，1)，b=(-1，k)，a·(2a-b)=0，则k=（）A．-12B．-6C．6D．129．已知向量a=(1，2)，b=(1，0)，c=(3，4)，若为实数，(a+b)∥c，则=（）A．14B．12C．1D．210．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a+2b)=（）A．4B．3C．2D．011．已知向量a=(1，k)，b=(2，2)，且a+b与a共线，那么a·b的值为（）A．1B．2C．3D．412．设向量a，b满足|a|=|b|=1，a·b=-12，则|a+2b|=（）A．2B．3C．5D．7413．已知向量a、b不共线，实数x、y满足向量等式3xa＋(10－y)b＝2xb＋(4y＋4)a，则x＝_____，y＝_____.14．若a与b、c的夹角都是60°，而b⊥c，且|a|＝|b|＝|c＝1，则（a－2c)·(b＋c)＝_____.15．若向量a=(1，1)，b(-1，2)，则a·b等于_____________．16．设向量a，b满足|a|=25，b=(2，1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．17．已知向量a=(3，1)，b=(0，-1)，c=(k，3)，若a-2b与c共线，则k=__________．18．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k=___________．三、解答题19．已知a和b的夹角为60°，|a|＝10，|b|＝8，求：（1）|a＋b|；（2）a＋b与a的夹角θ的余弦值.20．已知a＝(3，4)，b＝(4，3)，c＝xa＋yb，且a⊥c，|c|＝1，求x和y的值.21．已知a＝（λ，2)，b＝(－3，5)且a与b的夹角是钝角，求实数λ的取值范围。22．若向量a=(1，2)，b=(1，-1)，求2a+b与a-b的夹角。23．若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且2a＋3b与ka－4b也互相垂直，求k的值。