线性矩阵不等式1

鲁棒控制－线性矩阵不等式处理方法Robustcontrol–LMIMethod主要内容线性矩阵不等式概论系统性能分析控制器设计线性矩阵不等式概论线性矩阵不等式的一般表示线性矩阵不等式：——仿射矩阵不等式•仿射函数即由1阶多项式构成的函数，一般形式为f(x)=Ax+b，这里，A是一个m×k矩阵，x是一个k向量,b是一个m向量，实际上反映了一种从k维到m维的空间映射关系。•设f是一个矢性（值）函数，若它可以表示为其中可以是标量，也可以是矩阵，则称f是仿射函数。0110mmFxFxFxF1(,,)TmmxxxR决策向量TnniiFFR实对称矩阵Fx是负定的1110mmmfxxbxAxAiA凸（约束）问题kRC1CCC2[0,1],CCC211211CC1C2C定义（凸集）一个集合的连线仍在集合内。和及参数有称为的凸组合。称为凸的，如果集合中任意两点即任意给定两点和将矩阵不等式的解约束在矩阵变量定义的空间中关于凸集定义的理解Schur补定理11121222TXXXXX11X0X110XT1221211120XXXX220X1T111222120XXXX引理(SchurComplement)对于分块对称阵其中b)，且c)，且a)为方阵，则以下三个条件是等价的：10TTAPPAPBRBPQ0TTAPPAQPBBPRSchur补应用若要证明存在对称矩阵P0,Q0,R0,使得如下不等式成立只需证明如下线性矩阵不等式(LMI)成立Schur补：是将非线性矩阵不等式转化为线性矩阵不等式的有效工具标准的线性矩阵不等式问题可行性问题(LMIP)—求不等式的可行解检验是否存在x，使得成立。特征值问题(EVP)－－求不等式的优化解广义特征值问题(GEVP)－－仿射矩阵函数的不等式优化问题LinearMatrixInequality(LMI)min..()()0stGxIHxmin..()()()0()0stGxFxFxHx()0Fx系统性能分析连续时间系统3.1.1系统增益指标考虑x(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+Dw(t)0()sup()wsizezsizewL2范数•对于平方可积的信号，定义其中是向量的欧式范数。这样定义的正好是信号的能量。将所有有限能量的全体记成即也称为信号的范数f12220(())fftdt()()()Tftftft2ff2L220{:()}Lfftdt2ff2LL∞范数•对幅值有界的信号，定义当是一个标量信号时，等于的峰值。将所有幅值有界的信号全体记成即也称为信号的范数。f0sup()tfftfffL{:()}LfftffL四个性能指标•IE(Impulse-to-Energy)增益：•EP(Energy-to-Peak)增益：•EE(Energy-to-Energy)增益：•PP(Peak-to-Peak)增益：002()()1supiewtwtwz21supepwz221supeewz1supppwz定理1---IEx(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+Dw(t)mins.t.0BP0TTTPAAPCCPBIie•若有一最优值，则定理2---EPmins.t.0CQCQ0TTTAQQABBI•若有一最优值，则epx(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+Dw(t)定理3---EEx(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+Dw(t)定理4---PPx(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+Dw(t)H2性能T的H2范数的平方等于系统脉冲响应的总的输出能量。(IE)系统的H2范数也可以用系统在白噪声输入信号激励下的稳态输出方差来解释。(EP)对于SISO系统2()ieepTsx(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+Dw(t)用线性矩阵不等式刻画系统的H2范数x(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+Dw(t)H∞性能x(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+Dw(t)•增益有一个频率域的解释：它恰好等于传递函数的范数，即eeH()Ts()eeTs用线性矩阵不等式刻画系统的H∞范数•定理：针对系统(3.1.1)和给定的一个常数γ0,若存在对称矩阵P0,使得如下线性矩阵不等式成立0TTTTAPPAPBCBPIDCDI则有||T(s)||∞γ,且系统渐进稳定。x(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+Dw(t)证明：0TTTTAPPAPBCBPIDCDI20TTTTAPPAPBCBPIDCDI对上述不等式分别左乘,右乘矩阵diag{γ1/2I,γ1/2I,γ-1/2I},得20TTTTAXXAXBCBXIDCDI记X=γP运用Schur补，可得120TTTTTTAXXACCXBCDIDDBXDC若D=0,则有20TTTAXXAXBBXCC严格真传递函数阵的H∞范数与矩阵不等式的等价关系给出了系统H∞范数与LMI之间的关系使得H∞控制问题可基于LMI进行求解有界实引理(Boundedreallemma)0in0mTTTTAPPAPBCBPIDCDIP控制器设计H∞控制器设计x(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+Dw(t)1211112()()ututx(t)Ax(t)Bw(t)+Bz(t)Cx(t)+Dw(t)+D状态反馈H∞控制x(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+Dw(t)1211112()()ututx(t)Ax(t)Bw(t)+Bz(t)Cx(t)+Dw(t)+DH∞控制律的存在条件和设计方法H∞次优控制H∞最优控制