线性矩阵不等式3

基于LMI的区域极点配置理论问题的提出精确的极点配置必须以精确的数学模型为依据由于不确定性及各种扰动的存在，使得精确的极点配置不可实现精确的极点配置并非是唯一的途径，将系统的闭环极点配置在复平面上的一个适当区域，即可保证系统的动态特性和稳态特性ImRer0,,:,,Srxiyxxjyrxtgy主要内容LMI区域的描述D-稳定性分析具有区域极点约束的状态反馈控制器设计具有区域极点约束的输出反馈控制器设计LMI区域的描述mmLmmMTD:0sssLMMTDsssfLMMsDsfmmD0sfDsf定义对复平面中的区域D，如果存在一个实对称矩阵，使得则称D是一个线性矩阵不等式区域(简记为LMI区域)。矩阵值函数称为LMI区域D的特征函数,特征函数维的Hermite矩阵，表示矩阵是负定的。是复数变量。的取值是和实矩阵注意：LMI区域是凸的LMI区域是关于复平面上的实轴对称的常见的LMI区域左半开复平面ImRe相应的特征值函数Dfsss0DfsRe0sImRe相应的特征值函数2Dfsss0DfsResReIm0h1h2左半复平面的垂直条形区域12:RevsDshsh相应的特征值函数12212002100120100201vsTDhssfssssshhhLM如图阴影部分所示：:,,csyDsxjyxytgx相应的特征值函数sincoscossinsincossincoscossincossincsDTssssfsssssssReImθImReqr2,:0Drqssqsqr由r0可推出:0rqsqsr复平面上半径为r，中心在(-q,0)的圆盘D(r,q)20sqsqr,01001000TDrqrqsfsssqsrrqqr因此，相应的特征值函数可写为：LM区域极点配置与动态性能指标之间的关系为使闭环系统的动态性能满足一定的要求，考虑复平面上如下所示圆盘：r-qReImr阻尼比1221/qr自然振荡频率nqrqr衰减振荡频率1221dndr调节时间444snqrtqr闭环系统特征值ndj,Dqr,DqrD－稳定性分析,nnADA定义对复平面中给定的LMI区域D和实矩阵如果实矩阵A的所有特征值都位于区域D中，即，则称实矩阵A是D-稳定的。nnAnnXD,0MAXTTD,MAXLXMAXMAX定理4-1给定LMI区域其中：TD:0,sssLMM，使得则实矩阵是D-稳定的充分必要条件是存在一个对称正定实矩阵证明：仅证充分性。假定存在对称阵X满足MD(A,X)0.设λ是矩阵A的任意特征值，,nvHH.vAv且有应用Kronecker乘积的性质，可得1.12.AAABCDACBDHDTHTTHHTHHTH1,111DvMAXvvLXMAXMAXvLvXvMvAXvMvAXvvXvL+M+MvXvf1;AAABCDACBDHHvAv由MD(A,X)0和X0可推出0,Df.D即A由于的任意性，根据D-稳定的定义，可得矩阵A是D-稳定的（必要性的证明请见书第102页）。定理得证。D稳定性定理的应用,11TTDMAXAXXAAXXADfsss一、LMI区域为左半开复平面对于左半开复平面，其特征函数是则由D稳定性定理，可得，矩阵A的所有特征值均在左半开复平面的充分必要条件是存在对称正定矩阵X，使得0TAXXALyapunov不等式二、复平面上半径为r，中心在(-q,0)的圆盘D(r,q)对于圆盘D(r,q)，其特征函数是,01010000TDrqrqfsssqrTTD,000000TTrXqXAXqXrXXArXqXAXqXXArXMAXLXMAXMAX矩阵A的所有特征值均在圆盘D(q,r)的充分必要条件是存在对称正定矩阵X，使得0TrXqXAXqXXArX推论给定两个LMI区域D1和D2，矩阵A同时是D1-稳定和D2-稳定的充分必要条件是存在一个对称正定阵X，使得12,0,,0DDMAXMAX具有区域极点约束的状态反馈控制器设计xA+AxB+BuyCx12tABMFEE1,ME2EtFTttFFI不确定参数矩阵和是反映不确定性结构的常数矩阵，是时变的不确定矩阵，且满足。考虑如下线性不确定系统（4-1）ttuKx12tABKMFEExx=xKAyCx设计状态反馈控制律闭环系统可写为12tA=ABKMFEEK（4-2）nnAnnXTTD,0MXLXXMAXAMA定理4-2给定LMI区域不确定矩阵TD:0,sssLMM，使得对所有允许的参数如果存在则称不确定系统(4-2)是二次D-稳定的。二次D-稳定性一个对称正定实矩阵，都有二次D-稳定性定理的应用定理4-3对于给定的LMI区域圆盘D(q,r)，如果存在对称正定矩阵X，使得如下不等式成立0TAArXqXXqXXrX则不确定系统(4-2)是二次D-稳定的。非LMI定理4-4对于给定的LMI区域圆盘D(q,r)，如果存在对称正定矩阵V，矩阵W，标量ε0，使得如下线性矩阵不等式成立1212000TTTTTrVMMqVAVBWqVVAWBrVEVEWEVEWI则u(t)=WV-1x(t)为闭环系统(4-2)具有圆盘极点约束的鲁棒控制律，且闭环系统系统(4-2)是二次D-稳定的。证明：由定理4.3，知0TrXqXAXqXXArX12tA=ABKMFEEK将代入得121200000TTTTrXqXABKXqXXABKrXMFEEKXFMXEEK由引理3.1，对于所有满足FTFI的实矩阵F，上式成立，当且仅当存在标量ε0,使得如下不等式成立1121200000TTTrXqXABKXqXXABKrXMMEEKXXEEKY+MFE+ETFTMT0Y+εMMT+ε-1ETE0不等式两边分别数乘ε，并记,VXWKV得应用Schur补，得1212000TTTTTrVMMqVAVBWqVVAWBrVEVEWEVEWI12120TTTTTrVMMqVAVBWqVVAWBrVEVEWEVEW定理得证。具有区域极点约束的输出反馈控制器设计xA+AxB+BuyCx12tABMFEE1,ME2EtFTttFFI不确定参数矩阵和是反映不确定性结构的常数矩阵，是时变的不确定矩阵，且满足。考虑如下线性不确定系统（4-3）tttuKy=KCx12tABKMFEEKAxx=xCyxCC设计静态输出反馈控制律闭环系统可写为12tA=ABKCMFEEKC（4-4）定理4-5对于给定的LMI区域圆盘D(q,r)，如果存在对称正定矩阵X，使得如下不等式成立0TAArXqXXqXXrX则不确定系统(4-4)是二次D-稳定的。非LMI定理4-6对于给定的LMI区域圆盘D(q,r)，如果存在对称正定矩阵V，矩阵W，非奇异阵N，标量ε0，使得等式约束CV=NC和如下线性矩阵不等式成立则u(t)=WN-1y(t)为闭环系统(4-4)具有圆盘极点约束的鲁棒控制律，且闭环系统系统(4-4)是二次D-稳定的。1212000TTTTTTrVMMqVAVBWCqVVACWBrVEVEWCEVEWCI证明：前面证明过程同状态反馈，在此不再螯述。1121200000TTTrXqXABXqXXABrXMKCKCKMEEXCKCXEE不等式两边分别数乘ε，并记VX得22110TTTTTTrVMMqVAVqVVArBKCVVCKBEKCVEKCVVEVEV上述不等式包含有”BKCV”和“E2KCV”一项,因此该不等式为关于V和K的双线性矩阵不等式(bilinearmatrixinequality-BMI),无法通过Matlab求解.为此,引入等式约束CV=NC,可将其转化为LMI问题,其中N为一适当维数的非奇异实矩阵.将CV=NC代入上式，并记W=KN,可得1212000TTTTTTrVMMqVAVBWCqVVACWBrVEVEWCEVEWCI定理得证。具有等式约束的LMI问题求解起来会有诸多限制。nqT´ÎnqZ´ÎHHT=ZTT0TZZT=HTZ=()1TTTHZTZZTST-^^=+nqnqSTT引理4-1假设一个实对称正定阵其中是对称实正定阵,表示的正交补。和是列满秩实矩阵，那么存在，使得成立，当且仅当,且此时的解可表示为定理4-7对于给定的LMI区域圆盘D(q,r)，如果存在对称正定矩阵NC、S，矩阵W，标量ε0，使得如下线性矩阵不等式成立则u(t)=WCCTNC-1y(t)为闭环系统(4-4)具有圆盘极点约束的鲁棒控制律，且闭环系统系统(4-4)是二次D-稳定的。1212000TTTTTTrVMMqVAVBWCqVVACWBrVEVEWCEVEWCI其中-1-1TTTTTTCVCCCNCCCCSC证明：TTTTTVCVCCN0CN1TCN=NCC假设存在适当维数的对称正定阵,并令则有TTT0CCNNCC等式约束问题CV=NC等价于()HT=Z令TTT,,V=HCNZCT-1TTTTTTT-1-1TTTTTTCVCNCCNNCCSCCCCNCCCCSC()()1TTTHZTZZTST-^^=+将-1-1TTTTTTCVCCCNCCCCSCW=KN代入，定理得证。即得定理成立的条件。又1T1CK=WN=WCCN--则有