三阶幻方的讲解

三阶幻方的讲解在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，通常这样的图形叫做三阶幻方。如果是在4×4（四行四列）的方格中进行填数，就要不重不漏地在4×4方格中填上16个连续的自然数，并且使方格的每行、每列及每条对角线上的四个自然数之和均相等，这样填出的图形就叫做四阶幻方。幻方实际上就是一种填数游戏，它不仅限于三阶、四阶，还有五阶，六阶，……，直到任意阶。一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n×n个连续的自然数（注意，这n×n个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占1格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上的n个自然数的和都相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n叫做阶，这样排成的数的图形叫做n阶幻方。这里我们主要学习三阶幻方。例1用1～9这九个数编排一个三阶幻方。分析与解先求幻和再添数！雪帆提示：先求总和，看看有几个幻和，常把中间数填入中间先用a，b，c，…，i分别填入图1的九个空格内，以代表应填的数，如图2。（1）审题首先我们应知道幻和是多少才好进行填数。同时我们可以看到图2中e是一个很关键的数，因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a，c，g，i，它们各自都要参加一行、一列及一条对角线的求和运算。如果e以及四个角上的数被确定之后，其他的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。（2）求幻和幻和=（1+2+3＋4＋5+6＋7＋8＋9）÷3=45÷3=15（3）选择解题突破口突破口显然是e，在图2中，因为a＋e+i=b＋e＋h=c＋e＋g=d＋e＋f=15，所以（a＋e＋i）+（b+e+h）＋（c＋e+g）＋（d+e＋f）=15+15＋15＋15=60，也就是：（a＋b+c+d＋e＋f+g＋h＋i）＋3×e=60。因为a＋b＋c＋d＋e＋f＋g＋h＋i=45，所以45+3×e=60所以3×e=60-45e=5也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。（4）四个角上的数a，c，g，i的特点先从a开始讨论：a是奇数还是偶数。如果a为奇数，因为a＋i=10，所以i也是奇数。因为a＋d＋g=15，所以d与g同是奇数或同是偶数。分两种情况：①当d、g都是奇数时，因为d＋e＋f=15，g＋h＋i=15，其中e，i都是奇数，所以f，h也只能是奇数。这样在图1中应填的数有a，d，e，f，g，h，i这七个奇数，而1～9这九个数中只有五个奇数，矛盾。说明d，g不可能为奇数。②当d，g为偶数时，因为d＋f=10，g＋h＋i=15，c＋g=10，因为i为奇数，所以f，h，c只能是偶数，这样就有c，d，f，g，h五个偶数，而1～9这九个数中只有四个偶数，矛盾。说明d，g都是偶数也不行。所以a不能是奇数，那么只能是偶数，于是由a+i=10知，i也是偶数。用同样的方法可以得到c，g也只能是偶数。也就是说，图1中四个角上的数都应填偶数。（5）试验填数排出幻方因为e=5，a，c，g，i是偶数，所以a的范围有2，4，6，8四个数，根据幻和等于15进行试验：当a=2时，i=8，c可填4，6。若c=4，则有g=6，b=9，d=7，f=3，h=1；若c=6，则有g=4，b=7，d=9，f=1，h=3，这样填出两个三阶幻方。当a=4，6，8时，请同学们自己用上面的方法进行试验填数，作为练习。用1～9这九个数编排的三阶幻方有八个，如图3所示。说明：在上面图形中给出的用1～9这九个数编排的八个三阶幻方中的任何一个，都可以对它上面的数字进行适当的对调与旋转，从而得到其余七个图形。因此，我们把这八个图形给出的八个幻方算作是同一种三阶幻方。例2如下图的3×3的阵列中填入了1～9的自然数，构成了大家熟知的三阶幻方。现在另有一个3×3的阵列，请选择九个不同的自然数填入九个方格中，使得其中最大者为20，最小者大于5，且每一横行、每一竖行及每条对角线上三个数的和都相等。分析与解所给的三阶幻方中填入的是1～9这九个不同的自然数，其中最大的为9，最小的为1，要使新编制的幻方中最大数为20，而9＋11=20，因此，如果在所给幻方中各数都增加11，就能构成一个新幻方，并且满足最大数为20，最小数大于5。例3请编出一个三阶幻方，使其幻和为24。分析与解根据题意，要使三阶幻方的幻和为24，所以中心数必为24÷3=8。那么与8在一条直线上的各个组的其余两个数的和为16。1+15=162+14=163+13=164+12=165+11=166+10=167+9=16按上述条件填出并调整可得到一个三阶幻方，其幻和为24（如图7）。例4在图8中的A，B，C，D处填上适当的数，使其成为一个三阶幻方。分析与解从第一行和对角线可得，A＋7＋D=A＋10＋67＋D=16D=9这样幻和=9＋15＋6=30从第一行中可求出A=30-（7＋9）=14；从第二行中可求出B=30-（10＋15）=5；从第三行中可求出C=30-（11+6）=13。例5在3×3的阵列中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列的位置上填6，如图9。请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为36。分析与解为了叙述方便，我们将其余格内的数用字母表示，如图10。因为幻和为36，所以可求出中心数为：36÷3=12，即C=12。从第二行中可求出D=36-（6＋12）＝18；从对角线中可求出E＝36-（5＋12）=19；从第一列中可求出A=36-（6＋19）=11；从第一行中可求出B=36-（11＋5）=20；从第二列中可求出F=36-（20+12）＝4；从第三列中可求出G=36-（5＋18）=13。得到的三阶幻方如图11。从上面的例题我们不难看出：要填出一个三阶幻方，中心数起着至关重要的作用。利用幻和=中心数×3这个关系式，在已知幻和的情况下，可先求出中心数；在已知中心数的情况下，可求出幻和，以便其他数的求出。三阶幻方，幻和为15是最简单的幻方由1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数字组成的一个三行三列的矩阵其对角线横行纵向的数字的和都为为15想：1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10。这每对数的和再加上5都等于15，可确定中心格应填5，这四组数应分别填在横、竖和对角线的位置上。先填四个角，若填两对奇数，那么因三个奇数的和才可能得奇数，四边上的格里已不可再填奇数，不行。若四个角分别填一对偶数，一对奇数，也行不通。因此，判定四个角上必须填两对偶数。对角线上的数填好后，其余格里再填奇数就很容易了。解：上面是最简单的幻方，也叫三阶幻方。相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方。南宋数学家杨辉概括其构造方法为：“九子斜排。上下对易，左右相更。四维突出。”公式S=n(n^2+1)/2其中n为幻方的阶数，所求的数为S