相似五大模型总结老师

学科教师辅导讲义学员编号：年级：初三课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：吴猛授课类型T(同步知识主题)C（专题方法主题）T（学法与能力主题）授课日期及时段2016-07-27相似三角形模型总结模型一：A型或反A型1．（2011•河北模拟）将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是（）A．B．4C．或2D．4或考点：相似三角形的性质；解一元一次方程；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：根据折叠得到BF=B′F，根据相似三角形的性质得到=，设BF=x，则CF=8﹣x，即可求出x的长，得到BF的长，即可选出答案．解答：解：∵△ABC沿EF折叠B和B′重合，∴BF=B′F，设BF=x，则CF=8﹣x，∵当△B′FC∽△ABC，∴=，∵AB=6，BC=8，∴=，解得：x=，即：BF=，当△FB′C∽△ABC，，，解得：x=4，当△ABC∽△CB′F时，同法可求B′F=4，故BF=4或，故选：D．点评：本题主要考查了相似三角形的性质，折叠问题，解一元一次方程等知识点，解此题的关键是设BF=x，能正确列出方程．1、如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。求证：BDACFE答案：证明：（方法一）如图延长AE到M使得EM=AE，连接CM∵BE=CE，∠AEB=∠MEC∴△BEA≌△CEM∴CM=AB，∠1=∠B∴AB∥CM∴∠M=∠MAD，∠MCF=∠ADF∴△MCF∽△ADF∴∵CM=AB，AD=AC∴（方法二）过D作DG∥BC交AE于G则△ABE∽△ADG，△CEF∽△DGF∴，∵AD=AC，BE=CE∴模型二：X型和反X型1．（2012•朝阳）如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=4，EF=8，FC=12，则正方形与其外接圆形成的阴影部分的面积为80π﹣160．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；正多边形和圆．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：首先连接AC，则可证得△AEM∽△CFM，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EM与FM的长，然后由勾股定理求得AM与CM的长，则可求得正方形与圆的面积，则问题得解．解答：解：连接AC，∵AE丄EF，EF丄FC，∴∠E=∠F=90°，∵∠AME=∠CMF（对顶角相等），∴△AEM∽△CFM，∴，∵AE=4，FC=12，∴，∴EM=2，FM=6，在Rt△AEM中，AM==2，在Rt△FCM中，CM==6，∴AC=8，在Rt△ABC中，AB=AC•sin45°=8×=4，∴S正方形ABCD=AB2=160，圆的面积为：π•（）2=80π，∴正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为80π﹣160．故答案为：80π﹣160．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形与圆的面积的求解方法，以及勾股定理的应用．此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．2、如图，弦和弦相交于内一点，求证：.思路点拨：题目中求证的是等积式，我们可以转化为比例式，从而找到应证哪两个三角形相似.同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵活应用.证明：连接，.在∴∽∴.3．如图，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC．DE交于点O．则下列四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A．O、C．E四点在同一个圆上，一定成立的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D模型三：字母型1．如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=2，CD=3，则AE的长为（）A．2B．2.5C．3D．3.5【答案】B.2．（2015•南通）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，则AE的长为（）A．2.5B．2.8C．3D．3.2考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：连接BD、CD，由勾股定理先求出BD的长，再利用△ABD∽△BED，得出=，可解得DE的长，由AE=AD﹣DE求解即可得出答案．解答：解：如图1，连接BD、CD，，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴BD=，∵弦AD平分∠BAC，∴CD=BD=，∴∠CBD=∠DAB，在△ABD和△BED中，∴△ABD∽△BED，∴=，即=，解得DE=，∴AE=AD﹣DE=5﹣=2.8．故选：B点评：此题主要考查了三角形相似的判定和性质及圆周角定理，解答此题的关键是得出△ABD∽△BED．3、已知如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F。求证：ACCFBCDF证明：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点∴CE=EB=DE∴∠B=∠BDE=∠FDA∵∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°∴∠B=∠ACD∴∠FDA=∠ACD∵∠F=∠F∴△FDA∽△FCD∴FDADFCCD∵∠ADC=∠CDB=90°，∠B=∠ACD∴△ACD∽△CBD∴ADACCDBC∴FDACFCBC即ACCFBCDF模型四：一线三等角1．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点(不与B，C点重合)，∠ADE＝45°．(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；(3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．答案：（1）‘AA’判定（一线三等角）（2）12y2xx（3）三种情况舍去一种，AE=2-2，或AE=1/23．已知点A、B分别在反比例函数xy2（x＞0），xy8（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则OAOB的值为（）A．2B．2C．3D．3BAOxy【答案】B模型五：旋转相似和八字模型1．如图，O为矩形ABCD的中心，将直角三角板的直角顶点与O点重合，转动三角板使两直角边始终与BC，AB相交，交点分别为M，N．如果AB=4，AD=6，OM=x，ON=y．则y与x的关系是（）A．xy32B．xy6C．y=xD．xy23【答案】D2.点A,B,C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H，若3BHAC,则∠ABC所对的弧长等于（长度单位）.6.13或53（弦所对的劣弧与优弧长）3、如图1，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形(不包括全等)共有()A．1对B．2对C．3对D．4对答案：C4．如图，在△PAB中，点C、D在边AB上，PC＝PD＝CD，∠APB＝120°．(1)试说明△APC与△PBD相似．(2)若CD＝1，AC＝x，BD＝y，请你求出y与x之间的函数关系式．(3)小明猜想：若PC＝PD＝1，∠CPD＝α，∠APB＝β，只要α与β之间满足某种关系式，问题(2)中的函数关系式仍然成立．你同意小明的观点吗？如果你同意，请求出α与β所满足的关系式；若不同意，请说明理曲．EABDFGC（图1）5、（2015•浙江宁波，第17题4分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过点A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径为▲【课堂练习】1、（2015年浙江杭州12分）如图，在△ABC中(BCAC)，∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E（1）若13ADDB，AE=2，求EC的长（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P，问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由EADBC2、如图所示，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=a，且DM交AC于F，ME交BD于G。（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG，如果a=45°，AB=4，AF=3，求FG的长3、如图△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。4、如图，在三角形ABC中，AB=AC，点E、F分别在AB和AC上，CE与BF相交于点D，若AE=CF，D为BF的中点，则AE：AF为能力提升训练：例1、如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°；点P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC相交于点E，设AP=x．（1）求AC的长；（2）如果△ABP和△BCE相似，请求出x的值；（3）当△ABE是等腰三角形时，求x的值。解：（1）过点A作FBCAF于在AFBRt中，90AFB，60ABF∴3223460sin4sinABFABAFABDPCE221460cos4cosABFABBF在AFCRt中，90AFC∴724)32(2222FCAFAC（2）过点P作GBCPG于在BPGRt中，90PGB∴164)2()32(22222xxxPGBGBP如果ABP和BCE相似∵EBCAPB又∵ECBBCDBAP∴BCECBPAB即6726616442xxx∴ECBABP解得34,821xx（不合题意，舍去）∴8x（3）1当4ABAE时∵AP∥BC∴ECAEBCAP即47246x解得874x2当4ABBE时∵AP∥BC∴BCAPBEPE即6441642xxx解得0,51221xx3在AFCRt中，90AFC∵423FCAF在线段FC上截取AFFH∴45FAEFAH∴453060BAEABCABE∴BEAE综上所述，当ABE是等腰三角形时，512874或x例2、如图，矩形EFGD的边EF在ABC的BC边上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知5ABAC，6BC，设BEx，EFGDSy矩形．（1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；1（2）联结EG，当GEC为等腰三角形时，求y的值解：（1）过点A作AH⊥BC，垂足为H．∵ABAC，∴3BHHC.∴在RtABH中，224AHABAH.∵四边形EFGD是矩形，EF在BC上，∴DEBC∵tanDEAHBBEBH∴43DEx，∴43DEx∵ABAC，∴BC,又90DEBGFC，DEGF∴DBE≌GFC，∴FCBEx,∴62EFx∴248(62)833yxxxx（03)x（2）当GEGC时，可证BEDGEF,得：62xx，解得2x，此时，163y当CGCE时，可求：53GCx，得：563xx，解得：94x，此时，92y当EGEC时，过E作EFAC于F，则1526CFCGx，可证3cos5CFCCE即：35CFCE，得：53(6)65xx，解得:10843x此时，60481849y综上述，y的值是163或92或60481849。练习：1.如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，B和C都为锐角，M为AB一动点（点M与点AB、不重合），过点M作MNBC∥，交AC于点N，在AMN△中，设MN的长为x，MN上的高为h．（1）请你用含x的代数式表示h．（2）将AMN△沿MN折叠，使AMN△落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为1A，1AMN△与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少？【答案】解：（1）MNBC∥AMNABC△∽△68hx34xh（2）1AMNAMN△≌△1AMN△的边MN上的高为h，①当点1A落在四边形BCNM内或BC边上时，1AMN