第二章、随机过程的基本概念

机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版)第2章随机过程的基本概念2019年12月18日星期三第1页共51页第2章随机过程的基本概念2.1随机过程的定义2.2随机过程的有限维分布函数族2.3随机过程的数字特征2.5几类重要的随机过程2.4复随机过程机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版)第2章随机过程的基本概念2019年12月18日星期三第2页共51页2.1随机过程的定义引例1：无限次掷一枚硬币，第n次掷的结果是一个随机变量,,2,1,nXn且,)1()0(21nnXPXP可表述为},,2,1,{nXn引例2、热噪声电压V(t)为随机变量，不同时间t对应不同随机变量。若),0[t对应一族随机变量，记作。}0),({ttV1、设已给概率空间),,(T则称},,),,({TttX),,(PF及参数集1、随机过程的定义机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版)第2章随机过程的基本概念2019年12月18日星期三第3页共51页为该概率空间上的随机过程，简记为。}),({TttX由RT的定义，对于RT}),({TttX是一个以t为变量的函数，称为样本函数.（2）固定,),(tX。记作)(tx例1、设ttatX),cos()(波,其中,a在)2,0(上均匀分布。称为随机相位正弦为正常数、tatxsin)(,2显然，)cos()(,000tatXtt为随机变量2.1随机过程的定义(1)t固定,),(tX是一个随机变量,称随机变量取值的集合为状态集，记作S.机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版)第2章随机过程的基本概念2019年12月18日星期三第4页共51页2、随机过程的分类依据参数集T和状态集S是离散或连续可将随机过程分成四类。（1）离散参数、离散状态的随机过程；（2）离散参数、连续状态的随机过程；（3）连续参数、离散状态的随机过程；（4）连续参数、连续状态的随机过程。2.1随机过程的定义机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版)第2章随机过程的基本概念2019年12月18日星期三第5页共51页2.2随机过程的有限维分布函数族1、有限维分布的定义设RT}),({TttX(1)))(();(,xtXPxtFTt为RT}),({TttX一维分布函数。(2)))(,)((),;,(,,2211212121xtXxtXPxxttFTtt称为RT}),({TttX的二维分布函数。(3)))(,,)()((),,,;,,,(,,,,2211212121nnnnnxtXxtXxtXPxxxtttFTttt机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版)第2章随机过程的基本概念2019年12月18日星期三第6页共51页称为RT}),({TttX的n维分布函数。上述所有有限维分布函数的全体,称为RT}),({TttX有限维分布函数族。其中A,B是相互独立且同为正态分布N(0,1),求例2、RT,0,)(tBtAtX)(tX一、二维分布函数.解：BtAtXt)(,0依然是正态分布0)())((BtAEtXE221)()()())((tBDtADBtADtXD);1,0(~)(2tNtX故21121)(,)(,0,2BtAtXBtAtXtt2.2随机过程的有限维分布函数族机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版)第2章随机过程的基本概念2019年12月18日星期三第7页共51页))(),((21tXtX服从二维正态分布，又),0,0(,0))(()((21tXEtXE,1))((,1))((222211ttXDttXD0))()(())(),(cov(2121tXtXEtXtX)))(((21BtABtAE212122121))((ttttBttABAE则222121211111ttttttB所以).,(~))(),((21BNtXtX2.2随机过程的有限维分布函数族机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版)第2章随机过程的基本概念2019年12月18日星期三第8页共51页2、有限维分布函数的性质（1）对称性对n,,2,1的任意一种排列njjj,,,21,有),,,;,,,(),,,;,,,(21212121nnjjjjjjxxxtttFxxxtttFnn（2）相容性对任意mn有),,,,,,;,,,(),,,;,,,(21212121mnmmxxxtttFxxxtttF2.2随机过程的有限维分布函数族机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版)第2章随机过程的基本概念2019年12月18日星期三第9页共51页(3)存在定理则必有概率空间),,(PF及其上定义的随机过程}),({TttX使它的有限维分布函数族与F重合。设已给参数集T及满足上述对称性及相容性的有限维分布函数族)},,,;,,,({2121nnxxxtttFF其分布律为是随机变量其中、令例,,,cos)(3AttAtX,3,2,1,31)(iiAP;;2,;4}),({)1(xFxFttX的一维分布函数随机过程试求：.,;3,0}),({)2(21xxFttX的二维分布函数随机过程2.2随机过程的有限维分布函数族机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版)第2章随机过程的基本概念2019年12月18日星期三第10页共51页,224cos4)1(AAX解：其分布律为的可能取值为,223,2,224X4X222223P313131的分布函数为故4X2.2随机过程的有限维分布函数族机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版)第2章随机过程的基本概念2019年12月18日星期三第11页共51页223,12232,32222,3122,0;4xxxxxF,02cos2AX0,10,0;2xxxF21213,)0(,;3,0)2(xXxXPxxF2.2随机过程的有限维分布函数族机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版)第2章随机过程的基本概念2019年12月18日星期三第12页共51页213cos,0cosxAxAP212,xAxAP212,xAxAP2122112),2(2),(xxxAPxxxAP1x2x123123212xx2122112121,21,2,0,;3,0xxxxxxxxF或1,221,2,2212112131xxxxxx或23221121321,232,2,xxxxxx或23221121,232,2,1xxxxxx或2.2随机过程的有限维分布函数族机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版)第2章随机过程的基本概念2019年12月18日星期三第13页共51页2.3随机过程的数字特征设RT}),({TttX1、随机过程的数学期望))(()(,tXEtmTtX称为数学期望；))]()(([)(,2tmtXEtDTtXX称为方差；))(()(,2tXEtTtX称为均方值。2、相关函数)]()([),(,,tXsXEtsRTstX称为相关函数。显然),()(ttRtXX机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版)第2章随机过程的基本概念2019年12月18日星期三第14页共51页3、协方差函数))()(cov(),(,,tXsXtsCTstX称为协方差函数。显然。)()(),(),(tmsmttRtsCXXXX例4、设nkkkkktBtAtX1)sincos()(其中nkk,,2,1,为常数，kkBA,nk,,2,1是互不相关的随机变量，且均值为零，方差为nkBEAEkkk,,2,1),()(222求)(tX数字特征。解：))(()(tXEtmXnkkkkktBtAE1))sincos((2.3随机过程的数字特征机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版)第2章随机过程的基本概念2019年12月18日星期三第15页共51页)]()(([),(),(tXsXEtsRtsCXXnkkkkksBsAE1)]sincos({[nllllltBtA1)]}sincos([nkkkktsAE12coscos)([]sinsin)(2tsBEkkknkkkst12)(cos。nkkkkktBEtAE1))sin)(cos)((04、互相关函数与互协方差函数设}),({},),({TttYTttX两个随机过程,称}),(),({TttYtX为二维随机过程.2.3随机过程的数字特征机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版)第2章随机过程的基本概念2019年12月18日星期三第16页共51页若对于,)]()([,,tYsXETts则称)]()([),(tYsXEtsRXY为}),(),({TttYtX互相关函数.由定义可知,一般情况下).,(),(tsRtsRYXXY又称))(),(cov(),(tYsXtsCXY为互协方差函数.由定义得)()(),(),(tmsmtsRtsCYXXYXY若0),(,,tsCTtsXY则称}),({},),({TttYTttX互不相关.相互独立,则显然,若}),({},),({TttYTttX}),({},),({TttYTttX互不相关.2.3随机过程的数字特征机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版)第2章随机过程的基本概念2019年12月18日星期三第17页共51页2.4复随机过程设}),({},),({TttYTttX为两个实随机过程,则称}),()()({TttiYtXtZ为复随机过程.1、复随机过程的数字特征设复随机过程}),({TttZ称(1)均值函数为);()()]([)(timtmtZEtmYXZ(2)相关函数为;,)],()([),(_______TsttZsZEtsRZ(3)协方差函数为机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版)第2章随机过程的基本概念2019年12月18日星期三第18页共51页).()(),())]()(())()(([))(),(cov(),(____________________________tmsmtsRtmtZsmsZEtZsZtsCZZZZZZ类似可定义两个复随机过程的互相关函数与互协方差函数.2.4复随机过程机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版)第2章随机过程的基本概念2019年12月18日星期三第19页共51页1、二阶矩过程(1)定义设}),({TttX是一随机过程，若])([,2tXETt则称之为二阶矩过程。(2)二阶矩过程的性质1)二阶矩过程的均值函数与相关函数一定存在。2)二阶矩过程的相关函数满足:);,(),(__________stRtsRZZHermit性:非负性:即对于任意的正整数n,任意的Ttttn,,,21和任意n个复数,,,,21n有2.5几类重要的随机过程机动目录上页下页返回结束随机过程(西电版)第2章随机过程的基本概念2019年12月18日星期三第20页共51页ninkkikiZtt