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第1页共5页第八讲垂线和平行线（最优化问题）【知识概述】同学们都有这样的体会：从一个地方到另一个地方，两地之间有许多路，就有许多种走法，从中选择一条最近的路，也就是要选择一条最短的路线；或者利用平行和垂直的知识，很快数出图形的个数，称为“最优化问题”。在解决最优化问题时需要注意以下几点：一是两点之间线段最短；二是尽量不走回头路和重复路。最优化问题有时只有一种，有时有许多种，可以按照一定的逻辑顺序来排列可能走的路线，借助图表用标数法完成，要求不重复也不遗漏，并要注意题中的特定要求。例题精学例1下图中，小冬和小李分别住在M，N两地，如果他们要步行到河边坐同一条船，请问，船停靠在何处，小冬和小李两人所走的路程和最短?【思路分析】利用对称原理，首先在河的另一侧找到M以河为对称轴的对称点Q，再连接QN，如右上图，QN与河的交点设为P。因为两点之间线段最短，所以QN是两点间最短的距离，又因为M和Q是对称点，所以MP=QP，因此，MP和NP的长度之和与QN的长度相等。同步精练1.李大妈家在A处，她要从A处去河边挑水，然后把水送到B处的菜地浇菜。请帮忙找一条最短的路线，在下图中表示出来。2.如图，甲、乙两村想在小河边合修一个取水码头，请问：这个码头的点选在何处，才能使甲、乙两村取水时所走的路程和最短？河边ABQ河MNP河MN小河甲乙第2页共5页3.将军骑着一匹马走到A点时，马渴了，要到河边喝水，然后要到位于B点的军营。怎样走才能使行走的路线最短?例2A，B两村中间隔了一条河（见下图），现在要在小河上架一座桥，要求A，B两村之间行程最短，怎样在河两岸选择架桥地点？【思路分析】在河上架桥，桥总是垂直于河岸，桥的长度相当于河的宽度，因此，最短路线必然是条折线。不论桥架在哪里，从A到B都要经过这座桥，所以可以事先把这座桥的距离扣除。通过画图，用图解法求架桥的地点。同步精练1.河的两岸住着王家和李家，如图所示，如何在河上铺一座桥，使两家串门方便，走的路程最短？2.A，B两村位于河的两岸，要在河上垂直于河岸建一座桥，桥应修在什么地方，才能使从A经过桥到B的路最近?（河的宽度不变）小河BA小河AB小河BA小河李家王家第3页共5页3.如图甲、乙两人分别在公路的两侧，两人约好在公路上的某一处见面，要使两人到公路上的距离和最短，那么，他们应约在公路上的哪一处见面?例3下图（1)中的线段表示的是某人从A到B所能经过的路，某人从A到B共有多少条最短路线?【思路分析】为了叙述方便，我们在各交叉点都标上字母，如右上图（2），在图（2）中我们不难看出，从A到B，不论怎样走，最短也要走长方形AHBD的一个长与一个宽，即AD+BD或AH+HB，因此，水平方向上，所有线段长度和应等于AD；在竖直方向上，所有线段长度和应等于DB，这样走的路线才叫最短路线，可见最短路线只能保持向右和向下走。同步精练1.小华从家上学，所经过的街道平面示意图如下，从家到学校所走的最近的路线有多少条？2.下面是一个小区的平面图，某人从A到B（只能从北到南及从西向东)，共有多少种不同的走法?3.小明假日要到奶奶家，A处正在修花坛，不能通过，那么，小明到奶奶家的最短路线有几条?ABCABEDHIF家学校AB北小明家奶奶家A公路甲乙第4页共5页例4数出下面有多少个平行四边形？【思路分析】图中的平行四边形有多个，可以一个一个地数，2个2个地数，依此数下去，可这种方法较麻烦，有没有最简捷的数法呢？我们通常用数线段的方法来数出平行四边形的个数。同步精练数出下面各图中分别有多少个平行四边形?练习卷1.如图，A，B两村分别在小河两侧，现在要A.在A，B两村之间找一条最短的路线，使两村人来往时走的路程最少。请你画出这条路线。2.在公路的两边有甲、乙两个小区，现在要在公路的某处架一座天桥。请问，这座桥建在何处，可使两个小区的居民来往时所走的路程和最短？3.一个邮递员要从邮局出发，把几封重要的信件送到某公司，他不想走冤枉路线而浪费时间，请你帮他设计一下，共有多少种符合他要求的路线?4.如图，要从A点到B点，在不走回头路，不走重复路的情况下，可以有多少种不同的路线?河边AB公路乙甲某公司邮局BA第5页共5页5.如图，在公路AB上的一侧有甲、乙两村，如果在公路上建一个车站，车站建在什么位置，使甲、乙两村到车站的距离和最短?6.下图中各有多少个平行四边形?7.在下图中，A点和B点表示两个居民小区，两个小区之间隔一条马路，为方便居民在小区间来往，需要在马路上设人行横道，请你选择地点设置人行横道，使居民来往小区的路程最近。8.下图是街道的平面图，邮递员从邮局出发，要跑遍所有的街道投送信件。请你为邮递员安排一条最合理的行走路线。公路甲乙马路BA邮局