2.3平面向量的基本定理及坐标表示

§2.3.1平面向量基本定理、正交分解及坐标表示ba向量与非零向量共线的充要条件是当时，0与同向，ba且是的倍;||b||a当时，0与反向，ba且是的倍;||b||a||当时，00b，且。||0b1.复习:.ba有且只有一个实数，使得⑴向量共线充要条件ab⑵向量的加法：OBCAabOAaBbbaba平行四边形法则三角形法则1e2eOCABMNOCOMON如图111OMOAe1122OCee1122+aee即222ONOBea1e2ea给定平面内两个不共线的向量,可表示该平面内任一向量a吗？21,ee1e2eOCABMNaOCOMON如图111OMOAe1122OCee1122+aee即222ONOBe1e2ea给定平面内两个不共线的向量e1,e2,可表示该平面内任一向量a吗？1122+aee1122+aee这就是说平面内任一向量都可以表示成的形式平面向量基本定理:有且只有一对实数、使21向量，那么对于这一平面内的任一向量如果、是同一平面内的两个不共线2e1e这一平面内所有向量的一组基底。我们把不共线的向量、叫做表示1e2e1122aeea取,021使22110ee1e若a与共线，则02使2211eea若,0a)(2e),0(11e2eaa?思考1平面内用来表示一个向量的基底有多少组（有无数组）BAOMa1e2eOMaABxy12,,?思考2、若基底选取不同则表示同一向量的实数是否相同BAOMa1e2eOMaABxy2123eeayxa423mnnma23可以相同,也可以不同例１则下面的四组向量中不能作为一组基底的是是平面内所有向量的一组基底，若,1e,2e2121,.eeeeA12,216423.eeeeB12,2133.eeeeC212,.eeeD（B）例2如图，、不共线，，用、,表示.OAOBAPtAB)(RtOAOBOPOABP解：APtABOPOAAPABtOA()OAtAOOBOAtOAtOBOBtOAt)1(,ABCDBCABACAD例3、已知中，是的中点，则用表示向量ABCD【解析】ACABABACABBCABBDABAD2121)(2121向量的夹角与垂直:OABba两个非零向量和,作，,则abAOB叫做向量和的夹角．OAaOBbab夹角的范围：00180,0180与反向abOABab记作ab90与垂直，abOABab注意:两向量必须是同起点的0与同向abOABab特别的：例4.在等边三角形中，求(1)AB与AC的夹角；(2)AB与BC的夹角。ABC60'C0120ABCDoxyij思考：如图，在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设，填空：,OAiOBj（1）||_____,||______,||______;ijOC（2）若用来表示，则：,ij,OCOD________,_________.OCOD34ij57ij1153547（3）向量能否由表示出来？可以的话，如何表示？CD,ij23CDij我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示。对直角坐标平面内的每一个向量，能否用坐标表示？思考？ABCDoxyija平面向量的坐标表示+aaijxyxy对于该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，可使这里，我们把（x,y）叫做向量的（直角）坐标，记作a(,)axy①其中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示。aa如图，是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量，若以为基底，则,ij,ij(x,y)是把平移到以原点为起点的向量的终点的坐标.ar平面向量的坐标表示：把=(x,y)叫做向量的坐标表示以下三个特殊向量的坐标是：===(1,0)(0,1)(0,0)aij0aOYXij两个向量相等的等价条件是两个向量坐标相等11221212(,),(,)axybxyabxxyy如果,那么,且例1.如图，分别用基底，表示向量、、、，并求出它们的坐标。ijabcdAA1A2解：如图可知1223aAAAAij(2,3)a同理23(2,3);23(2,3);23(2,3).bijcijdij例题1122(,),(,),AxyBxy若则AB问1:设的坐标与的坐标有何关系?,aABaAB、1ABij1OxyaA1B1(x1,y1)(x2,y2)P(x,y)b2121(,)xxyy结论1:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。4321-1-2-3-2246ij），（yxP(,)OPxiyjxy向量的坐标与点的坐标关系O向量P（x，y）一一对应OPxiyj小结:对向量坐标表示的理解:(1)任一平面向量都有唯一的坐标;(2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标；当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标.(3)相等的向量有相等的坐标.),,(),,(2211yxbyxaba，若.,),,(),(21212211yyxxyxyx即则例1、已知平面A、B、C三点的坐标分别为（2，1）、（-3，2）、（-1，3），写出向量,的坐标;ACBC(2,1)BC(3,2)AC1122(,),(,),,(,),axybxyababaxya问题:(1)已知求的坐标.(2)已知和实数求的坐标.（二）平面向量的坐标运算：1122(1)abxiyjxiyj1212(,)abxxyy同理得(2)(,)axiyjxiyjxy结论2：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.结论3：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.1212xxiyyj1212(,)xxyya)3(2121yxb2222yxba221221)()(yyxx),(2121yyxxbarr),(yxar(,)axy二、向量坐标的运算2211yxbyxa,,,设两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）2(2,1),(3,4),,,34abababab例：已知求的坐标.(2,1)(3,4)(1,5)ab解：(2,1)(3,4)(5,3)ab343(2,1)4(3,4)(6,3)(12,16)ab(6,19)•例3已知向量与,求的坐标1,4ar2,5brbar322,82ar6,153br4,2362,15832ba解:因为所以例4.如图，已知□ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是（-2，1），（-1，3），（3，4），试求顶点D的坐标.ABCDxyO解法１：如图，设顶点D的坐标为（x,y）.因AB=(-1,3)-(-2,1)=(1,2)，DC=(3,4)-(x,y)=(3-x,4-y)，由AB=DC，为得(1,2)=(3-x,4-y)，1=3-x，所以2=4-y，解得所以顶点D的坐标为（2，2）.x=2,y=2.-2-11234321ABCDxyO解法2：如图，由平行四边形法则可得BD=BA+BC=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1)，而OD=OB+BD=(-1,3)+(3,-1)=(2,2)，所以顶点D的坐标为（2，2）.-2-11234321两个向量共线的充要条件是什么?那么，如何用坐标表示两个共线向量?..0,,,,2211bababyxbyxa，使当且仅当存在实数共线，与其中设复习.0)0(1221时当且仅当共线与yxyxbbarrrr推导过程：,2121yyxx),(),(2211yxyxba得：由rr.01221yxyx：消去.0),,(),,(2211byxbyxarrr其中设向量共线的坐标表示:)0(//rrrrbbabarr.01221yxyx向量共线的两个等价条件或5.(4,2),(6,),//,.abyaby例已知且求0264,6,2,4,//yybaba解：3y例6.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是。（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。1122(,),(,)xyxyxyOP1P2P(1)M1212121()2(,)22OPOPOPxxyy解：（1）所以，点P的坐标为1212(,)22xxyyxyOP1P2P例6.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。1122(,),(,)xyxy121111212112121212121若PP=PP,则21OP=0P+PP=0P+PP31=0P+(0P-0P)321=0P+OP332x+x2y+y=(,)332x+x2y+y∴点P的坐标是(,)33解：（2）①xyOP1P2P121212若pp=2pp,则x+2xy+2y∴点P的坐标是(,)33②